572. Найдите сумму первых пятидесяти, ста, n членов последовательности (хₙ), если: a) xₙ = 4n + 2; б) xₙ = 2n + 3; в) xₙ = n - 4; г) xₙ = 3n – 1.

Здравствуйте! Давайте решим эту задачу вместе. Нам нужно найти сумму первых 50, 100 и n членов последовательности, заданной формулами. a) xₙ = 4n + 2 Сначала найдем сумму первых n членов последовательности. Это арифметическая прогрессия, где первый член a₁ = 4(1) + 2 = 6, а разность d = 4. Сумма n членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: \[S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)\] Подставим наши значения: \[S_n = \frac{n}{2}(2\cdot6 + (n-1)\cdot4) = \frac{n}{2}(12 + 4n - 4) = \frac{n}{2}(4n + 8) = n(2n + 4) = 2n^2 + 4n\] Теперь найдем сумму для первых 50 членов: \[S_{50} = 2(50)^2 + 4(50) = 2(2500) + 200 = 5000 + 200 = 5200\] Сумма для первых 100 членов: \[S_{100} = 2(100)^2 + 4(100) = 2(10000) + 400 = 20000 + 400 = 20400\] Итак, для последовательности a) мы имеем: \[S_n = 2n^2 + 4n, \quad S_{50} = 5200, \quad S_{100} = 20400\] б) xₙ = 2n + 3 Аналогично, найдем сумму первых n членов. Здесь a₁ = 2(1) + 3 = 5, а разность d = 2. \[S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)\] Подставим значения: \[S_n = \frac{n}{2}(2\cdot5 + (n-1)\cdot2) = \frac{n}{2}(10 + 2n - 2) = \frac{n}{2}(2n + 8) = n(n + 4) = n^2 + 4n\] Теперь найдем сумму для первых 50 членов: \[S_{50} = (50)^2 + 4(50) = 2500 + 200 = 2700\] Сумма для первых 100 членов: \[S_{100} = (100)^2 + 4(100) = 10000 + 400 = 10400\] Итак, для последовательности б) мы имеем: \[S_n = n^2 + 4n, \quad S_{50} = 2700, \quad S_{100} = 10400\] в) xₙ = n - 4 Здесь a₁ = 1 - 4 = -3, а разность d = 1. \[S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)\] Подставим значения: \[S_n = \frac{n}{2}(2\cdot(-3) + (n-1)\cdot1) = \frac{n}{2}(-6 + n - 1) = \frac{n}{2}(n - 7)\] Теперь найдем сумму для первых 50 членов: \[S_{50} = \frac{50}{2}(50 - 7) = 25(43) = 1075\] Сумма для первых 100 членов: \[S_{100} = \frac{100}{2}(100 - 7) = 50(93) = 4650\] Итак, для последовательности в) мы имеем: \[S_n = \frac{n}{2}(n - 7), \quad S_{50} = 1075, \quad S_{100} = 4650\] г) xₙ = 3n - 1 Здесь a₁ = 3(1) - 1 = 2, а разность d = 3. \[S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)\] Подставим значения: \[S_n = \frac{n}{2}(2\cdot2 + (n-1)\cdot3) = \frac{n}{2}(4 + 3n - 3) = \frac{n}{2}(3n + 1)\] Теперь найдем сумму для первых 50 членов: \[S_{50} = \frac{50}{2}(3\cdot50 + 1) = 25(150 + 1) = 25(151) = 3775\] Сумма для первых 100 членов: \[S_{100} = \frac{100}{2}(3\cdot100 + 1) = 50(300 + 1) = 50(301) = 15050\] Итак, для последовательности г) мы имеем: \[S_n = \frac{n}{2}(3n + 1), \quad S_{50} = 3775, \quad S_{100} = 15050\]

Ответ: a) Sₙ = 2n² + 4n, S₅₀ = 5200, S₁₀₀ = 20400; б) Sₙ = n² + 4n, S₅₀ = 2700, S₁₀₀ = 10400; в) Sₙ = n(n - 7)/2, S₅₀ = 1075, S₁₀₀ = 4650; г) Sₙ = n(3n + 1)/2, S₅₀ = 3775, S₁₀₀ = 15050

Ты молодец! У тебя всё получится!