579. Найдите сумму первых пятнадцати членов арифметической прогрессии (6), если b₁ = 4,2 и 610 = 15,9.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Найдем разность арифметической прогрессии (\(d\)).

Известно, что \(b_1 = 4.2\) и \(b_{10} = 15.9\). Используем формулу \(n\)-го члена арифметической прогрессии: \(b_n = b_1 + (n - 1)d\).

Для \(b_{10}\):

\[b_{10} = b_1 + (10 - 1)d\] \[15.9 = 4.2 + 9d\]

Решаем уравнение для \(d\):

\[9d = 15.9 - 4.2\] \[9d = 11.7\] \[d = \frac{11.7}{9}\] \[d = 1.3\]

• Шаг 2: Найдем 15-й член арифметической прогрессии (\(b_{15}\)).

Используем формулу \(n\)-го члена арифметической прогрессии:

\[b_{15} = b_1 + (15 - 1)d\] \[b_{15} = 4.2 + 14 \cdot 1.3\] \[b_{15} = 4.2 + 18.2\] \[b_{15} = 22.4\]

• Шаг 3: Найдем сумму первых пятнадцати членов арифметической прогрессии (\(S_{15}\)).

Используем формулу суммы \(n\) первых членов арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{b_1 + b_n}{2} \cdot n\]

Для \(S_{15}\):

\[S_{15} = \frac{b_1 + b_{15}}{2} \cdot 15\] \[S_{15} = \frac{4.2 + 22.4}{2} \cdot 15\] \[S_{15} = \frac{26.6}{2} \cdot 15\] \[S_{15} = 13.3 \cdot 15\] \[S_{15} = 199.5\]

У меня вышло 199.5, но в ответе указано 150.75. Где-то ошибка. Сейчас пересчитаю.

• Шаг 1: Найдем разность арифметической прогрессии (\(d\)).

\[b_{10} = b_1 + (10-1)d\] \[15.9 = 4.2 + 9d\] \[9d = 15.9 - 4.2 = 11.7\] \[d = 1.3\]

• Шаг 2: Используем формулу суммы арифметической прогрессии.

\[S_n = \frac{2b_1 + (n-1)d}{2} \cdot n\] \[S_{15} = \frac{2 \cdot 4.2 + (15-1)1.3}{2} \cdot 15\] \[S_{15} = \frac{8.4 + 14 \cdot 1.3}{2} \cdot 15\] \[S_{15} = \frac{8.4 + 18.2}{2} \cdot 15\] \[S_{15} = \frac{26.6}{2} \cdot 15\] \[S_{15} = 13.3 \cdot 15\] \[S_{15} = 199.5\]

• Шаг 3: Сейчас мы сверим данные с ответом в задачнике и, если есть разница, проведем корректировку.

Проверим условие, может быть там ошибка?

В условии b_1 = 4.2 и b_10 = 15.9. Найти сумму первых 15 членов.

Давай проверим разность еще раз:

\[d = \frac{b_{10} - b_1}{10 - 1}\] \[d = \frac{15.9 - 4.2}{9}\] \[d = \frac{11.7}{9} = 1.3\]

Теперь, когда мы уверены в разности, можно использовать формулу для суммы:

\[S_n = \frac{n}{2} [2a + (n - 1)d]\] \[S_{15} = \frac{15}{2} [2(4.2) + (15 - 1)(1.3)]\] \[S_{15} = \frac{15}{2} [8.4 + 14(1.3)]\] \[S_{15} = \frac{15}{2} [8.4 + 18.2]\] \[S_{15} = \frac{15}{2} [26.6]\] \[S_{15} = \frac{15}{2} \cdot 26.6 = 15 \cdot 13.3 = 199.5\]

Похоже, в задачнике опечатка.

Проверим еще раз:

Мы знаем b_1 = 4.2 и d = 1.3. Найдем b_15:

\[b_{15} = b_1 + 14d\] \[b_{15} = 4.2 + 14(1.3) = 4.2 + 18.2 = 22.4\]

Теперь найдем S_15:

\[S_{15} = \frac{n(b_1 + b_{15})}{2}\] \[S_{15} = \frac{15(4.2 + 22.4)}{2}\] \[S_{15} = \frac{15(26.6)}{2} = \frac{399}{2} = 199.5\]

Все равно получается 199.5. Но в ответе указано 150.75. Что-то здесь не так.

Допустим, сумма первых пятнадцати членов равна 150.75. Тогда какое значение должно быть у b_10, чтобы это работало?

Имеем: S_15 = 150.75, b_1 = 4.2. Надо найти b_10.

S_15 = (15/2) * (2*b_1 + (15-1)*d)

150.75 = (15/2) * (2*4.2 + 14*d)

150.75 = (15/2) * (8.4 + 14d)

150.75 * (2/15) = 8.4 + 14d

20.1 = 8.4 + 14d

14d = 20.1 - 8.4 = 11.7

d = 11.7 / 14 = 0.8357 (округлим до 0.84)

Тогда b_10 = b_1 + (10-1)*d = 4.2 + 9 * 0.84 = 4.2 + 7.56 = 11.76

То есть, если S_15 = 150.75 и b_1 = 4.2, то b_10 должно быть около 11.76, а не 15.9.

Учитывая все вычисления, скорее всего в задачнике просто опечатка в ответе.