Найдите сумму первых шести членов арифметической прогрессии, если её третий член равен 54, а пятый равен 6.

\[a_{3} = 54;\ \ a_{5} = 6.\]

\[a_{3} = a_{1} + 2d = 54 \rightarrow a_{1} = 54 - 2d;\]

\[a_{5} = a_{1} + 4d = 6 \rightarrow a_{1} = 6 - 4d.\]

\[54 - 2d = 6 - 4d\]

\[- 2d + 4d = 6 - 54\]

\[2d = - 48\]

\[d = - 24.\]

\[a_{1} = 54 - 2 \cdot ( - 24) = 54 + 48 = 102.\]

\[a_{6} = a_{5} + d = 6 - 24 = - 18.\]

\[S_{6} = \frac{(102 - 18) \cdot 6}{2} = 84 \cdot 3 = 252.\]

\[Ответ:252.\]