616. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии: a) 3; -6; ... ; б) 54; 36; ...; (B) -32; -16; ...; (г) 1; 1 2'

Решаем:

a)

• Дана геометрическая прогрессия: 3; -6; ...
• Первый член прогрессии: \( b_1 = 3 \)
• Знаменатель прогрессии: \( q = \frac{-6}{3} = -2 \)

Теперь найдем сумму первых шести членов:

\[ S_6 = \frac{3(1 - (-2)^6)}{1 - (-2)} = \frac{3(1 - 64)}{3} = 1 - 64 = -63 \]

Ответ: -63

б)

• Дана геометрическая прогрессия: 54; 36; ...
• Первый член прогрессии: \( b_1 = 54 \)
• Знаменатель прогрессии: \( q = \frac{36}{54} = \frac{2}{3} \)

Теперь найдем сумму первых шести членов:

\[ S_6 = \frac{54(1 - (\frac{2}{3})^6)}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{54(1 - \frac{64}{729})}{\frac{1}{3}} = 54 \cdot 3 \cdot (1 - \frac{64}{729}) = 162 \cdot \frac{729 - 64}{729} = 162 \cdot \frac{665}{729} = \frac{162 \cdot 665}{729} = \frac{107730}{729} = \frac{35910}{243} = \frac{11970}{81} = \frac{3990}{27} = \frac{1330}{9} \approx 147.78 \]

Ответ: \(\frac{1330}{9}\) или примерно 147.78

в)

• Дана геометрическая прогрессия: -32; -16; ...
• Первый член прогрессии: \( b_1 = -32 \)
• Знаменатель прогрессии: \( q = \frac{-16}{-32} = \frac{1}{2} \)

Теперь найдем сумму первых шести членов:

\[ S_6 = \frac{-32(1 - (\frac{1}{2})^6)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{-32(1 - \frac{1}{64})}{\frac{1}{2}} = -32 \cdot 2 \cdot (1 - \frac{1}{64}) = -64 \cdot \frac{64 - 1}{64} = -64 \cdot \frac{63}{64} = -63 \]

Ответ: -63

г)

• Дана геометрическая прогрессия: 1; -\(\frac{1}{2}\); ...
• Первый член прогрессии: \( b_1 = 1 \)
• Знаменатель прогрессии: \( q = \frac{-\frac{1}{2}}{1} = -\frac{1}{2} \)

Теперь найдем сумму первых шести членов:

\[ S_6 = \frac{1(1 - (-\frac{1}{2})^6)}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{1 - \frac{1}{64}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{63}{64}}{\frac{3}{2}} = \frac{63}{64} \cdot \frac{2}{3} = \frac{63 \cdot 2}{64 \cdot 3} = \frac{126}{192} = \frac{63}{96} = \frac{21}{32} \]

Ответ: \(\frac{21}{32}\)