1. Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии (bₙ), в которой: а) b₁ = 12, q = 1/3; B) b₁ = 64, q = -1/2 б) b₁ = 2, q = -2; г) б₁ = 49√7, q = √7. 2. Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии: а) 3; -12; ...; в) 7; 7²; ...; б) 6; 3; ...; г) √6; 6: ... 3. Последовательность (аₙ) – геометрическая прогрессия. Найдите: а) 5₄, если а₁ = -2500, q = 1/5; б) Ѕ₆, если а₁ = 125, q = 1/5; в) 5₄, если а₁ = 2, q = −6; г) Ѕ₄, если а₁ = 81√3, q = √3. 4. Найдите сумму четырех первых членов геометрической прогрессии (bₙ), в которой: а) b₃ = 1/125; b₄ = 1/625; б) b₂ = 20, b₄ = 500, q > 0. 5. Найдите первый член геометрической прогрессии, в которой: а) q = 3, S₅ = 363; б) q = 1/2, S₃ = 28.

1. Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии (bₙ), в которой:

а) b₁ = 12, q = 1/3

Сумма n первых членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле: \[S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}\]

Для данного случая n = 5, b₁ = 12, q = 1/3. Подставляем значения в формулу:

\[S_5 = \frac{12(1 - (1/3)^5)}{1 - 1/3} = \frac{12(1 - 1/243)}{2/3} = \frac{12(242/243)}{2/3} = 12 \cdot \frac{242}{243} \cdot \frac{3}{2} = \frac{6 \cdot 242 \cdot 3}{243 \cdot 2} = \frac{2178}{486} = \frac{1089}{243} = \frac{121}{27}\]

Ответ: 121/27

б) b₁ = 2, q = -2

Для данного случая n = 5, b₁ = 2, q = -2. Подставляем значения в формулу:

\[S_5 = \frac{2(1 - (-2)^5)}{1 - (-2)} = \frac{2(1 - (-32))}{1 + 2} = \frac{2(1 + 32)}{3} = \frac{2 \cdot 33}{3} = \frac{66}{3} = 22\]

Ответ: 22

в) b₁ = 64, q = -1/2

Для данного случая n = 5, b₁ = 64, q = -1/2. Подставляем значения в формулу:

\[S_5 = \frac{64(1 - (-1/2)^5)}{1 - (-1/2)} = \frac{64(1 - (-1/32))}{1 + 1/2} = \frac{64(1 + 1/32)}{3/2} = \frac{64 \cdot (33/32)}{3/2} = 64 \cdot \frac{33}{32} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 33 \cdot 2}{3} = \frac{132}{3} = 44\]

Ответ: 44

г) b₁ = 49√7, q = √7

Для данного случая n = 5, b₁ = 49√7, q = √7. Подставляем значения в формулу:

\[S_5 = \frac{49\sqrt{7}(1 - (\sqrt{7})^5)}{1 - \sqrt{7}} = \frac{49\sqrt{7}(1 - 7^2\sqrt{7})}{1 - \sqrt{7}} = \frac{49\sqrt{7}(1 - 49\sqrt{7})}{1 - \sqrt{7}} = \frac{49\sqrt{7} - 49^2 \cdot 7}{1 - \sqrt{7}} = \frac{49\sqrt{7} - 2401}{1 - \sqrt{7}}\]

Ответ: (49√7 - 2401)/(1 - √7)

2. Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии:

а) 3; -12; ...

Находим знаменатель прогрессии: q = -12 / 3 = -4.

Для данного случая n = 6, b₁ = 3, q = -4. Подставляем значения в формулу:

\[S_6 = \frac{3(1 - (-4)^6)}{1 - (-4)} = \frac{3(1 - 4096)}{1 + 4} = \frac{3 \cdot (-4095)}{5} = \frac{-12285}{5} = -2457\]

Ответ: -2457

б) 6; 3; ...

Находим знаменатель прогрессии: q = 3 / 6 = 1/2.

Для данного случая n = 6, b₁ = 6, q = 1/2. Подставляем значения в формулу:

\[S_6 = \frac{6(1 - (1/2)^6)}{1 - 1/2} = \frac{6(1 - 1/64)}{1/2} = \frac{6 \cdot (63/64)}{1/2} = 6 \cdot \frac{63}{64} \cdot 2 = \frac{6 \cdot 63 \cdot 2}{64} = \frac{756}{64} = \frac{189}{16}\]

Ответ: 189/16

в) 7; 7²; ...

Находим знаменатель прогрессии: q = 7² / 7 = 7.

Для данного случая n = 6, b₁ = 7, q = 7. Подставляем значения в формулу:

\[S_6 = \frac{7(1 - 7^6)}{1 - 7} = \frac{7(1 - 117649)}{-6} = \frac{7 \cdot (-117648)}{-6} = \frac{-823536}{-6} = 137256\]

Ответ: 137256

г) √6; 6; ...

Находим знаменатель прогрессии: q = 6 / √6 = √6.

Для данного случая n = 6, b₁ = √6, q = √6. Подставляем значения в формулу:

\[S_6 = \frac{\sqrt{6}(1 - (\sqrt{6})^6)}{1 - \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}(1 - 6^3)}{1 - \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}(1 - 216)}{1 - \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6} - 216\sqrt{6}}{1 - \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6} - 216\sqrt{6}}{1 - \sqrt{6}} = \frac{-215\sqrt{6}}{1 - \sqrt{6}}\]

Ответ: (-215√6)/(1 - √6)

3. Последовательность (аₙ) – геометрическая прогрессия. Найдите:

а) S₄, если a₁ = -2500, q = 1/5

Для данного случая n = 4, a₁ = -2500, q = 1/5. Подставляем значения в формулу:

\[S_4 = \frac{-2500(1 - (1/5)^4)}{1 - 1/5} = \frac{-2500(1 - 1/625)}{4/5} = \frac{-2500 \cdot (624/625)}{4/5} = -2500 \cdot \frac{624}{625} \cdot \frac{5}{4} = \frac{-2500 \cdot 624 \cdot 5}{625 \cdot 4} = -5 \cdot \frac{624 \cdot 5}{5} = -3120\]

Ответ: -3120

б) S₆, если a₁ = 125, q = 1/5

Для данного случая n = 6, a₁ = 125, q = 1/5. Подставляем значения в формулу:

\[S_6 = \frac{125(1 - (1/5)^6)}{1 - 1/5} = \frac{125(1 - 1/15625)}{4/5} = \frac{125 \cdot (15624/15625)}{4/5} = 125 \cdot \frac{15624}{15625} \cdot \frac{5}{4} = \frac{125 \cdot 15624 \cdot 5}{15625 \cdot 4} = 5 \cdot \frac{15624}{125} = \frac{15624}{25} = 624.96\]

Ответ: 624.96

в) S₄, если a₁ = 2, q = -6

Для данного случая n = 4, a₁ = 2, q = -6. Подставляем значения в формулу:

\[S_4 = \frac{2(1 - (-6)^4)}{1 - (-6)} = \frac{2(1 - 1296)}{1 + 6} = \frac{2 \cdot (-1295)}{7} = \frac{-2590}{7}\]

Ответ: -2590/7

г) S₄, если a₁ = 81√3, q = √3

Для данного случая n = 4, a₁ = 81√3, q = √3. Подставляем значения в формулу:

\[S_4 = \frac{81\sqrt{3}(1 - (\sqrt{3})^4)}{1 - \sqrt{3}} = \frac{81\sqrt{3}(1 - 9)}{1 - \sqrt{3}} = \frac{81\sqrt{3} \cdot (-8)}{1 - \sqrt{3}} = \frac{-648\sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}\]

Ответ: (-648√3)/(1 - √3)

4. Найдите сумму четырех первых членов геометрической прогрессии (bₙ), в которой:

а) b₃ = 1/125, b₄ = 1/625

Находим знаменатель прогрессии: q = b₄ / b₃ = (1/625) / (1/125) = 125/625 = 1/5.

Находим b₁: b₃ = b₁ * q², следовательно, b₁ = b₃ / q² = (1/125) / (1/5)² = (1/125) / (1/25) = 25/125 = 1/5.

Для данного случая n = 4, b₁ = 1/5, q = 1/5. Подставляем значения в формулу:

\[S_4 = \frac{(1/5)(1 - (1/5)^4)}{1 - 1/5} = \frac{(1/5)(1 - 1/625)}{4/5} = \frac{(1/5) \cdot (624/625)}{4/5} = \frac{1}{5} \cdot \frac{624}{625} \cdot \frac{5}{4} = \frac{624}{625 \cdot 4} = \frac{156}{625}\]

Ответ: 156/625

б) b₂ = 20, b₄ = 500, q > 0

Находим знаменатель прогрессии: b₄ = b₂ * q², следовательно, q² = b₄ / b₂ = 500 / 20 = 25. Так как q > 0, то q = √25 = 5.

Находим b₁: b₂ = b₁ * q, следовательно, b₁ = b₂ / q = 20 / 5 = 4.

Для данного случая n = 4, b₁ = 4, q = 5. Подставляем значения в формулу:

\[S_4 = \frac{4(1 - 5^4)}{1 - 5} = \frac{4(1 - 625)}{-4} = \frac{4 \cdot (-624)}{-4} = 624\]

Ответ: 624

5. Найдите первый член геометрической прогрессии, в которой:

а) q = 3, S₅ = 363

Используем формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии:\[S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}\]

Для данного случая n = 5, q = 3, S₅ = 363. Подставляем значения в формулу и находим b₁:

\[363 = \frac{b_1(1 - 3^5)}{1 - 3} = \frac{b_1(1 - 243)}{-2} = \frac{b_1 \cdot (-242)}{-2} = b_1 \cdot 121\]

Следовательно, b₁ = 363 / 121 = 3.

Ответ: 3

б) q = 1/2, S₃ = 28

Для данного случая n = 3, q = 1/2, S₃ = 28. Подставляем значения в формулу и находим b₁:

\[28 = \frac{b_1(1 - (1/2)^3)}{1 - 1/2} = \frac{b_1(1 - 1/8)}{1/2} = \frac{b_1 \cdot (7/8)}{1/2} = b_1 \cdot \frac{7}{8} \cdot 2 = b_1 \cdot \frac{14}{8} = b_1 \cdot \frac{7}{4}\]

Следовательно, b₁ = 28 / (7/4) = 28 * (4/7) = 4 * 4 = 16.

Ответ: 16