Найдите сумму целых решений неравенства \(\frac{x^2-7x+10}{(x-4)^2} \le 0.\)

Пошаговое решение:

1. Разложим числитель на множители:

\[x^2 - 7x + 10 = (x-2)(x-5)\]

2. Неравенство принимает вид:

\[\frac{(x-2)(x-5)}{(x-4)^2} \le 0\]

3. Знаменатель \((x-4)^2\) всегда положителен (кроме x=4, где он равен нулю, но это значение исключается из-за деления на ноль). Поэтому неравенство эквивалентно условию:

\[(x-2)(x-5) \le 0\]

4. Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя:

\[x = 2, x = 5\]

5. Отметим точки 2 и 5 на числовой прямой и определим знаки на интервалах:

    +        -        +
 -----2--------5-----> x
  

6. Неравенство выполняется на отрезке [2, 5]. Однако, нужно исключить точку x = 4, так как в исходном неравенстве она обращает знаменатель в ноль.
7. Таким образом, решениями являются x из [2, 4) ∪ (4, 5].
8. Целые решения неравенства: 2, 3, 5.
9. Сумма целых решений:

\[2 + 3 + 5 = 10\]