Найдите сумму целых решений неравенства 7^{x^2-4x} \(\geq\) \(\frac{\pi}{3}\)^{x^2-4x}, принадлежащих промежутку [-3;2].

Решение:

Рассмотрим неравенство \( 7^{x^2-4x} \geq (\frac{\pi}{3})^{x^2-4x} \).
Обозначим \( y = x^2-4x \). Тогда неравенство примет вид \( 7^y \geq (\frac{\pi}{3})^y \).

Рассмотрим функцию \( f(y) = 7^y \) и \( g(y) = (\frac{\pi}{3})^y \).

Так как \( 7 > 1 \), функция \( f(y) = 7^y \) является возрастающей.
Так как \( 0 < \frac{\pi}{3} < 1 \) (так как \( \pi \approx 3.14 \), \( \frac{\pi}{3} \approx 1.047 \), что больше 1. Но \( \pi \approx 3.14 \), \( \frac{\pi}{3} \approx 1.047 \), что больше 1. Это неверно, \( \pi \approx 3.14 \), \( \frac{\pi}{3} \approx 1.047 \). На самом деле \( \pi \approx 3.14 \), тогда \( \frac{\pi}{3} \approx \frac{3.14}{3} \approx 1.047 \). Однако, в данном контексте, вероятно, имелось в виду, что \( \frac{\pi}{3} \) является основанием степени. Значение \( \frac{\pi}{3} \approx 1.047 \) больше 1. Следовательно, функция \( g(y) = (\frac{\pi}{3})^y \) также является возрастающей.

Однако, если \( \frac{\pi}{3} \) было бы меньше 1, то \( g(y) \) была бы убывающей. Проверим условие \( \frac{\pi}{3} \) vs 1. \( \pi \approx 3.14159 \). \( \frac{\pi}{3} \approx 1.047 \). Значит, \( \frac{\pi}{3} > 1 \). Обе функции \( 7^y \) и \( (\frac{\pi}{3})^y \) возрастающие.

Сравним основания: \( 7 > \frac{\pi}{3} \).

Неравенство \( 7^y \geq (\frac{\pi}{3})^y \) выполняется, когда \( y \leq 0 \) (так как \( 7 > \frac{\pi}{3} \)).

Теперь подставим \( y = x^2-4x \):
\( x^2-4x \leq 0 \)
\( x(x-4) \leq 0 \)

Корни уравнения \( x(x-4)=0 \) равны \( x=0 \) и \( x=4 \).
Парабола \( y=x^2-4x \) ветвями вверх, значит, \( x^2-4x \leq 0 \) при \( 0 \leq x \leq 4 \).

Нам нужно найти сумму целых решений, принадлежащих промежутку \( [-3;2] \).
Целые числа в промежутке \( [0;4] \) это: 0, 1, 2, 3, 4.
Целые числа в промежутке \( [-3;2] \) это: -3, -2, -1, 0, 1, 2.

Общие целые решения для обоих промежутков: 0, 1, 2.

Сумма этих решений: \( 0 + 1 + 2 = 3 \).

Ответ: 3.