1.2. Найдите сумму углов выпуклого: 1) девятиугольника; 2) шест- надцатиугольника. 1.3. Существует ли выпуклый многоугольник, сумма углов которого равна: 1) 1800°; 2) 720°; 3) 1600°? 1.4. Существует ли многоугольник, каждый угол которого равен: 1) 150°; 2) 100°? 1.5. Один из углов четырёхугольника в 2 раза меньше второго угла, на 20° меньше третьего и на 40° больше четвёртого. Найдите углы четырёхугольника. 1.6. Найдите углы четырёхугольника, если они пропорциональны чис- лам 2, 3, 10 и 21. Является ли этот четырёхугольник выпуклым? 1.7. Найдите углы четырёхугольника, если три его угла пропорцио- нальны числам 4, 5 и 7, а четвёртый угол равен их полусумме. Является ли этот четырёхугольник выпуклым?

1.2. Найдите сумму углов выпуклого: 1) девятиугольника; 2) шестнадцатиугольника.

Сумма углов выпуклого многоугольника с n сторонами вычисляется по формуле: \[(n - 2) \cdot 180^{\circ}\]

1) Для девятиугольника (n = 9): \[(9 - 2) \cdot 180^{\circ} = 7 \cdot 180^{\circ} = 1260^{\circ}\]

2) Для шестнадцатиугольника (n = 16): \[(16 - 2) \cdot 180^{\circ} = 14 \cdot 180^{\circ} = 2520^{\circ}\]

Ответ: 1) 1260°; 2) 2520°

---

1.3. Существует ли выпуклый многоугольник, сумма углов которого равна: 1) 1800°; 2) 720°; 3) 1600°?

Сумма углов выпуклого многоугольника должна быть равна \[(n - 2) \cdot 180^{\circ}\] где n - целое число.

1) 1800°: \[(n - 2) \cdot 180^{\circ} = 1800^{\circ}\] \[n - 2 = \frac{1800}{180} = 10\] \[n = 12\] Существует (двенадцатиугольник).

2) 720°: \[(n - 2) \cdot 180^{\circ} = 720^{\circ}\] \[n - 2 = \frac{720}{180} = 4\] \[n = 6\] Существует (шестиугольник).

3) 1600°: \[(n - 2) \cdot 180^{\circ} = 1600^{\circ}\] \[n - 2 = \frac{1600}{180} = 8.888...\] n не является целым числом. Не существует.

Ответ: 1) Существует; 2) Существует; 3) Не существует.

---

1.4. Существует ли многоугольник, каждый угол которого равен: 1) 150°; 2) 100°?

Если каждый угол многоугольника равен \(\alpha\), то сумма углов равна \(n \cdot \alpha\), где n - количество углов (и сторон).

Сумма углов также равна \((n - 2) \cdot 180^{\circ}\). Тогда \[n \cdot \alpha = (n - 2) \cdot 180^{\circ}\]

1) \(\alpha = 150^{\circ}\): \[n \cdot 150 = (n - 2) \cdot 180\] \[150n = 180n - 360\] \[30n = 360\] \[n = 12\] Существует (двенадцатиугольник).

2) \(\alpha = 100^{\circ}\): \[n \cdot 100 = (n - 2) \cdot 180\] \[100n = 180n - 360\] \[80n = 360\] \[n = 4.5\] n не является целым числом. Не существует.

Ответ: 1) Существует; 2) Не существует.

---

1.5. Один из углов четырёхугольника в 2 раза меньше второго угла, на 20° меньше третьего и на 40° больше четвёртого. Найдите углы четырёхугольника.

Пусть первый угол равен x.

Второй угол равен 2x.

Третий угол равен x + 20°.

Четвёртый угол равен x - 40°.

Сумма углов четырёхугольника равна 360°.

Составим уравнение: \[x + 2x + (x + 20) + (x - 40) = 360\] \[5x - 20 = 360\] \[5x = 380\] \[x = 76^{\circ}\]

Углы равны:

Первый угол: 76°.

Второй угол: 2 * 76° = 152°.

Третий угол: 76° + 20° = 96°.

Четвёртый угол: 76° - 40° = 36°.

Ответ: 76°, 152°, 96°, 36°

---

1.6. Найдите углы четырёхугольника, если они пропорциональны числам 2, 3, 10 и 21. Является ли этот четырёхугольник выпуклым?

Пусть углы четырёхугольника равны 2x, 3x, 10x и 21x.

Сумма углов четырёхугольника равна 360°.

Составим уравнение: \[2x + 3x + 10x + 21x = 360\] \[36x = 360\] \[x = 10^{\circ}\]

Углы равны:

Первый угол: 2 * 10° = 20°.

Второй угол: 3 * 10° = 30°.

Третий угол: 10 * 10° = 100°.

Четвёртый угол: 21 * 10° = 210°.

Четырёхугольник является выпуклым, если все его углы меньше 180°. В данном случае, один из углов равен 210°, что больше 180°, следовательно, этот четырёхугольник не является выпуклым.

Ответ: Углы: 20°, 30°, 100°, 210°. Не является выпуклым.

---

1.7. Найдите углы четырёхугольника, если три его угла пропорциональны числам 4, 5 и 7, а четвёртый угол равен их полусумме. Является ли этот четырёхугольник выпуклым?

Пусть три угла равны 4x, 5x и 7x.

Четвёртый угол равен \(\frac{4x + 5x + 7x}{2} = \frac{16x}{2} = 8x\).

Сумма углов четырёхугольника равна 360°.

Составим уравнение: \[4x + 5x + 7x + 8x = 360\] \[24x = 360\] \[x = 15^{\circ}\]

Углы равны:

Первый угол: 4 * 15° = 60°.

Второй угол: 5 * 15° = 75°.

Третий угол: 7 * 15° = 105°.

Четвёртый угол: 8 * 15° = 120°.

Четырёхугольник является выпуклым, если все его углы меньше 180°. В данном случае, все углы меньше 180°, следовательно, этот четырёхугольник является выпуклым.

Ответ: Углы: 60°, 75°, 105°, 120°. Является выпуклым.

---