Найдите сумму всех целых корней уравнения: log|x-1 (x²-6x + 10) = 1

Решение:

Для решения уравнения \( \log_{|x-1|} (x^2 - 6x + 10) = 1 \) необходимо учесть следующие условия:

1. Основание логарифма не равно 1: \( |x-1| \neq 1 \) То есть \( x-1 \neq 1 \) и \( x-1 \neq -1 \). Отсюда \( x \neq 2 \) и \( x \neq 0 \).
2. Основание логарифма больше 0: \( |x-1| > 0 \) Это верно для всех \( x \neq 1 \).
3. Аргумент логарифма больше 0: \( x^2 - 6x + 10 > 0 \). Дискриминант для \( x^2 - 6x + 10 = 0 \) равен \( D = (-6)^2 - 4 · 1 · 10 = 36 - 40 = -4 \). Так как \( D < 0 \) и коэффициент при \( x^2 \) положителен, то \( x^2 - 6x + 10 > 0 \) для всех \( x \in \mathbb{R} \).

Теперь решим само уравнение. По определению логарифма:

\[ x^2 - 6x + 10 = |x-1|^1 \]\[ x^2 - 6x + 10 = |x-1| \]

Рассмотрим два случая для раскрытия модуля:

Случай 1: \( x-1 \ge 0 \), то есть \( x \ge 1 \).

Тогда \( |x-1| = x-1 \).

\[ x^2 - 6x + 10 = x-1 \]\[ x^2 - 7x + 11 = 0 \]

Найдем корни этого квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-(-7) ± √{(-7)^2 - 4 · 1 · 11}}{2 · 1} = \frac{7 ± √{49 - 44}}{2} = \frac{7 ± √{5}}{2} \]

Получаем два корня: \( x_1 = \frac{7 + √{5}}{2} \) и \( x_2 = \frac{7 - √{5}}{2} \).

Проверим, удовлетворяют ли эти корни условию \( x ≥ 1 \) и условиям допустимости основания логарифма (\( x \neq 2 \)).

• \( √{5} \approx 2.236 \).
• \( x_1 = \frac{7 + 2.236}{2} = \frac{9.236}{2} = 4.618 \). Этот корень удовлетворяет \( x ≥ 1 \) и \( x \neq 2, x \neq 0 \).
• \( x_2 = \frac{7 - 2.236}{2} = \frac{4.764}{2} = 2.382 \). Этот корень удовлетворяет \( x ≥ 1 \) и \( x \neq 2, x \neq 0 \).

Случай 2: \( x-1 < 0 \), то есть \( x < 1 \).

Тогда \( |x-1| = -(x-1) = 1-x \).

\[ x^2 - 6x + 10 = 1-x \]\[ x^2 - 5x + 9 = 0 \]

Найдем дискриминант для этого квадратного уравнения:

\[ D = (-5)^2 - 4 · 1 · 9 = 25 - 36 = -11 \]

Так как \( D < 0 \), это уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, в этом случае решений нет.

Таким образом, единственные корни уравнения — \( x_1 = \frac{7 + √{5}}{2} \) и \( x_2 = \frac{7 - √{5}}{2} \).

Задание просит найти сумму всех целых корней. Ни \( x_1 \), ни \( x_2 \) не являются целыми числами.

Проверим ещё раз условия допустимости. При \( x=2 \), основание равно \( |2-1|=1 \), что запрещено. При \( x=0 \), основание равно \( |0-1|=1 \), что также запрещено. Корень \( x=1 \) запрещен, так как основание равно 0.

Уравнение \( x^2 - 6x + 10 = |x-1| \) действительно имеет два действительных корня, но они не являются целыми. Если бы в задании требовалось найти сумму действительных корней, то она была бы \( \frac{7 + √{5}}{2} + \frac{7 - √{5}}{2} = \frac{14}{2} = 7 \).

Но поскольку требуются целые корни, а их нет, то сумма целых корней равна 0.

Однако, стоит перепроверить само уравнение на предмет возможных целых корней, которые могли быть пропущены из-за условий.

Переформулируем уравнение \( x^2 - 6x + 10 = |x-1| \). Если \( x \ge 1 \), то \( x^2 - 7x + 11 = 0 \), корни \( \frac{7 ± √{5}}{2} \). Оба не целые.

Если \( x < 1 \), то \( x^2 - 5x + 9 = 0 \), нет действительных корней.

Возможно, в условии задачи есть опечатка, или предполагается, что целых корней нет. В строгом смысле, если нет целых корней, сумма равна 0.

Давайте предположим, что в задаче имелось в виду, что один из корней был целым.

Перепроверка:

Уравнение \( гог_{|x-1|} (x^2 - 6x + 10) = 1 \) эквивалентно \( x^2 - 6x + 10 = |x-1| \), при условии, что \( |x-1| > 0 \) и \( |x-1| ≠ 1 \).

Случай 1: \( x - 1 > 0 \) (т.е. \( x > 1 \))

\[ x^2 - 6x + 10 = x - 1 \]\[ x^2 - 7x + 11 = 0 \]

Корни: \( x = \frac{7 ± √{5}}{2} \). Оба корня \( > 1 \), но не целые.

Случай 2: \( x - 1 < 0 \) (т.е. \( x < 1 \))

\[ x^2 - 6x + 10 = -(x - 1) \]\[ x^2 - 6x + 10 = 1 - x \]\[ x^2 - 5x + 9 = 0 \]

Дискриминант \( D = (-5)^2 - 4 · 1 · 9 = 25 - 36 = -11 < 0 \). Корней нет.

Важные условия:

• \( x ≠ 1 \) (основание логарифма \( |x-1| \neq 0 \))
• \( x ≠ 2 \) (основание логарифма \( |x-1| ≠ 1 \))
• \( x ≠ 0 \) (основание логарифма \( |x-1| ≠ 1 \))

Учитывая, что ни один из найденных корней \( \frac{7 ± √{5}}{2} \) не является целым числом, и других корней нет, значит, целых корней у данного уравнения нет.

Если целых корней нет, то их сумма равна 0.

Проверим, может ли быть так, что основание логарифма равно 1, и аргумент равен 1.

Если \( |x-1| = 1 \), то \( x=0 \) или \( x=2 \).

Если \( x=0 \), то \( x^2 - 6x + 10 = 0^2 - 6(0) + 10 = 10 \). \( гог_{1} (10) \) — не определен.

Если \( x=2 \), то \( x^2 - 6x + 10 = 2^2 - 6(2) + 10 = 4 - 12 + 10 = 2 \). \( гог_{1} (2) \) — не определен.

Следовательно, уравнение не имеет целых корней.

Ответ: 0.