Найдите тангенс угла AOB, изображённого на рисунке.

Решение:

Угол AOB является центральным углом. На рисунке изображена сетка, которая позволяет определить длины сторон прямоугольного треугольника, построенного на векторах OA и OB.

Предположим, что центр окружности O находится в точке (0,0). Точка A находится на оси x, на расстоянии 5 единиц от O. Значит, A = (5,0).

Точка B находится на окружности радиусом 5. Расстояние между точками A и B составляет 4 единицы (по сетке, если считать, что каждая клетка — 1 единица).

Чтобы найти тангенс угла AOB, мы можем найти координаты точки B. Используем расстояние AB = 4 и OB = 5.

Пусть координаты B = (x, y). Тогда:

1. \( x^2 + y^2 = 5^2 = 25 \) (поскольку OB = 5)

2. \( (x-5)^2 + (y-0)^2 = 4^2 = 16 \) (поскольку AB = 4)

Раскроем второе уравнение: \( x^2 - 10x + 25 + y^2 = 16 \)

Подставим \( x^2 + y^2 = 25 \) в раскрытое уравнение:

\( 25 - 10x + 25 = 16 \)

\( 50 - 10x = 16 \)

\( 10x = 50 - 16 \)

\( 10x = 34 \)

\( x = 3.4 \)

Теперь найдем y:

\( y^2 = 25 - x^2 = 25 - (3.4)^2 = 25 - 11.56 = 13.44 \)

\( y = √{13.44} \) (возьмем положительное значение y, так как точка B находится выше оси x).

\( y = √{\frac{1344}{100}} = \frac{√{1344}}{10} = \frac{√{64 · 21}}{10} = \frac{8√{21}}{10} = \frac{4√{21}}{5} \).

Таким образом, координаты точки B = (3.4, \( \frac{4√{21}}{5} \)).

Тангенс угла AOB равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету в прямоугольном треугольнике, образованном точками O, A и точкой (3.4, 0) на оси x. Однако, угол AOB — центральный. Мы можем найти тангенс угла наклона радиуса OB к оси x, если OA лежит на оси x. Это отношение \( \frac{y}{x} \) для точки B.

\( tan(\angle AOB) = \frac{y_B}{x_B} = \frac{\frac{4√{21}}{5}}{3.4} = \frac{\frac{4√{21}}{5}}{\frac{34}{10}} = \frac{\frac{4√{21}}{5}}{\frac{17}{5}} = \frac{4√{21}}{17} \).

Ответ: $$\frac{4\sqrt{21}}{17}$$.