Найдите тангенс угла ∠AОВ, изображённого на клетчатой бумаге.

Решение:

Для нахождения тангенса угла \( \angle AOB \) построим прямоугольный треугольник, где \( OB \) будет гипотенузой, а катеты будут соответствовать изменениям по осям X и Y. Точка \( O \) находится в начале координат \( (0,0) \). Точка \( A \) находится на оси X. Точка \( B \) имеет координаты \( (3,3) \), если считать, что одна клетка равна одной единице.

Рассмотрим треугольник, построенный на клетках. Катет, прилежащий к углу \( \angle AOB \) (если рассматривать \( OA \) как катет, лежащий на оси X), имеет длину, равную количеству клеток по оси X от \( O \) до точки, из которой опущен перпендикуляр на \( OB \). В данном случае, удобнее рассматривать угол \( \angle AOB \) как угол между осью \( OA \) (которая совпадает с осью X) и лучом \( OB \).

Для угла \( \alpha \) в прямоугольном треугольнике, тангенс определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету: \( \text{tg}(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} \).

В нашем случае, мы можем представить угол \( \angle AOB \) как угол наклона прямой \( OB \) к оси \( OA \).

Координаты точки \( B \) можно определить, считая клетки от \( O \). По оси X (горизонтально) от \( O \) до проекции \( B \) на ось X — 3 клетки. По оси Y (вертикально) от оси X до точки \( B \) — 3 клетки.

Таким образом, для угла \( \angle AOB \):

• Противолежащий катет (высота) = 3 клетки.
• Прилежащий катет (основание) = 3 клетки.

Тангенс угла \( \angle AOB \) равен:

\[ \text{tg}(\angle AOB) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{3}{3} = 1 \]

• Следовательно, \( \text{tg}(\angle AOB) = 1 \).

Ответ: 1