Найдите тангенс угла между осью Oх и касательной к графику функции f(x) = 4ln(x^2 + 2) в точке x₀ = 3. Ответ округлите до сотых.

Решение:

Для нахождения тангенса угла наклона касательной к графику функции в точке нужно вычислить значение производной этой функции в данной точке.

1. Найдем производную функции \( f(x) = 4\ln(x^2 + 2) \). Используем правило дифференцирования сложной функции: \( (\ln u)' = \frac{1}{u} \cdot u' \).
2. \( f'(x) = 4 \cdot \frac{1}{x^2 + 2} \cdot (x^2 + 2)' \)
3. \( f'(x) = 4 \cdot \frac{1}{x^2 + 2} \cdot 2x \)
4. \( f'(x) = \frac{8x}{x^2 + 2} \)
5. Теперь вычислим значение производной в точке \( x_0 = 3 \):
6. \( f'(3) = \frac{8 \cdot 3}{3^2 + 2} \)
7. \( f'(3) = \frac{24}{9 + 2} \)
8. \( f'(3) = \frac{24}{11} \)
9. Округлим результат до сотых: \( \frac{24}{11} \approx 2.1818... \)
10. При округлении до сотых получаем \( 2.18 \).

Тангенс угла наклона касательной равен значению производной в данной точке.

Ответ: 2.18