Найдите tg²α, если 5sin²α +13cos²α = 6.

Для решения данной задачи необходимо выразить $$\sin^2 \alpha$$ через $$\cos^2 \alpha$$ или наоборот, используя основное тригонометрическое тождество, а затем найти значение $$\operatorname{tg}^2 \alpha$$.

1. Преобразуем заданное уравнение, используя основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$.
2. Выразим $$\sin^2 \alpha$$ через $$\cos^2 \alpha$$: $$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$$.
3. Подставим это выражение в исходное уравнение: $$5(1 - \cos^2 \alpha) + 13\cos^2 \alpha = 6$$.
4. Раскроем скобки: $$5 - 5\cos^2 \alpha + 13\cos^2 \alpha = 6$$.
5. Упростим уравнение: $$8\cos^2 \alpha = 1$$.
6. Выразим $$\cos^2 \alpha$$: $$\cos^2 \alpha = \frac{1}{8}$$.
7. Найдем $$\sin^2 \alpha$$, используя основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$$.
8. Найдем $$\operatorname{tg}^2 \alpha$$, зная, что $$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$, следовательно, $$\operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$$.
9. Вычислим: $$\operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{\frac{7}{8}}{\frac{1}{8}} = \frac{7}{8} \times \frac{8}{1} = 7$$.

Ответ: 7