Найдите точки экстремума функции и определите их характер 1) y = 7 + 12x - x² 2) y = 3x³ + 2x² - 7 3) y = -2x³ + 21x² + 19 4) y = 3x² - x³ 5) y = x + 4/x

Решение:

1. y = 7 + 12x - x²
   1. Найдем первую производную:

      \[ y' = (7 + 12x - x^2)' = 12 - 2x \]

   2. Приравняем производную к нулю:

      \[ 12 - 2x = 0 \]

      \[ 2x = 12 \]

      \[ x = 6 \]

   3. Найдем вторую производную:

      \[ y'' = (12 - 2x)' = -2 \]

   4. Определим характер точки:

      \[ y''(6) = -2 \]

      Так как вторая производная отрицательна (\[ y''(6) < 0 \]), то в точке x = 6 функция имеет максимум.

2. y = 3x³ + 2x² - 7
   1. Найдем первую производную:

      \[ y' = (3x^3 + 2x^2 - 7)' = 9x^2 + 4x \]

   2. Приравняем производную к нулю:

      \[ 9x^2 + 4x = 0 \]

      \[ x(9x + 4) = 0 \]

      Отсюда

      \[ x_1 = 0 \]

      или

      \[ 9x + 4 = 0 \]

      \[ 9x = -4 \]

      \[ x_2 = -\frac{4}{9} \]

   3. Найдем вторую производную:

      \[ y'' = (9x^2 + 4x)' = 18x + 4 \]

   4. Определим характер точек:
   • Для

     \[ x_1 = 0 \]

     :

     \[ y''(0) = 18(0) + 4 = 4 \]

     Так как вторая производная положительна (\[ y''(0) > 0 \]), то в точке x = 0 функция имеет минимум.

   • Для

     \[ x_2 = -\frac{4}{9} \]

     :

     \[ y''(-\frac{4}{9}) = 18(-\frac{4}{9}) + 4 = -8 + 4 = -4 \]

     Так как вторая производная отрицательна (\[ y''(-\frac{4}{9}) < 0 \]), то в точке

     \[ x = -\frac{4}{9} \]

     функция имеет максимум.

3. y = -2x³ + 21x² + 19
   1. Найдем первую производную:

      \[ y' = (-2x^3 + 21x^2 + 19)' = -6x^2 + 42x \]

   2. Приравняем производную к нулю:

      \[ -6x^2 + 42x = 0 \]

      \[ -6x(x - 7) = 0 \]

      Отсюда

      \[ x_1 = 0 \]

      или

      \[ x - 7 = 0 \]

      \[ x_2 = 7 \]

   3. Найдем вторую производную:

      \[ y'' = (-6x^2 + 42x)' = -12x + 42 \]

   4. Определим характер точек:
   • Для

     \[ x_1 = 0 \]

     :

     \[ y''(0) = -12(0) + 42 = 42 \]

     Так как вторая производная положительна (\[ y''(0) > 0 \]), то в точке x = 0 функция имеет минимум.

   • Для

     \[ x_2 = 7 \]

     :

     \[ y''(7) = -12(7) + 42 = -84 + 42 = -42 \]

     Так как вторая производная отрицательна (\[ y''(7) < 0 \]), то в точке x = 7 функция имеет максимум.

4. y = 3x² - x³
   1. Найдем первую производную:

      \[ y' = (3x^2 - x^3)' = 6x - 3x^2 \]

   2. Приравняем производную к нулю:

      \[ 6x - 3x^2 = 0 \]

      \[ 3x(2 - x) = 0 \]

      Отсюда

      \[ x_1 = 0 \]

      или

      \[ 2 - x = 0 \]

      \[ x_2 = 2 \]

   3. Найдем вторую производную:

      \[ y'' = (6x - 3x^2)' = 6 - 6x \]

   4. Определим характер точек:
   • Для

     \[ x_1 = 0 \]

     :

     \[ y''(0) = 6 - 6(0) = 6 \]

     Так как вторая производная положительна (\[ y''(0) > 0 \]), то в точке x = 0 функция имеет минимум.

   • Для

     \[ x_2 = 2 \]

     :

     \[ y''(2) = 6 - 6(2) = 6 - 12 = -6 \]

     Так как вторая производная отрицательна (\[ y''(2) < 0 \]), то в точке x = 2 функция имеет максимум.

5. y = x + 4/x
   1. Найдем первую производную:

      \[ y' = (x + 4x^{-1})' = 1 - 4x^{-2} = 1 - \frac{4}{x^2} \]

   2. Приравняем производную к нулю:

      \[ 1 - \frac{4}{x^2} = 0 \]

      \[ 1 = \frac{4}{x^2} \]

      \[ x^2 = 4 \]

      Отсюда

      \[ x_1 = 2 \]

      или

      \[ x_2 = -2 \]

   3. Найдем вторую производную:

      \[ y'' = (1 - 4x^{-2})' = -4(-2)x^{-3} = 8x^{-3} = \frac{8}{x^3} \]

   4. Определим характер точек:
   • Для

     \[ x_1 = 2 \]

     :

     \[ y''(2) = \frac{8}{2^3} = \frac{8}{8} = 1 \]

     Так как вторая производная положительна (\[ y''(2) > 0 \]), то в точке x = 2 функция имеет минимум.

   • Для

     \[ x_2 = -2 \]

     :

     \[ y''(-2) = \frac{8}{(-2)^3} = \frac{8}{-8} = -1 \]

     Так как вторая производная отрицательна (\[ y''(-2) < 0 \]), то в точке

     \[ x = -2 \]

     функция имеет максимум.

Ответ:

• 1) x = 6 (максимум)
• 2) x = 0 (минимум), x = -4/9 (максимум)
• 3) x = 0 (минимум), x = 7 (максимум)
• 4) x = 0 (минимум), x = 2 (максимум)
• 5) x = 2 (минимум), x = -2 (максимум)