Найдите точки экстремума функции у = =-√x+3x+1. В ответ запишите количество точек экстремума функции.

Ответ: 2

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Находим производную функции:

\[y = -\frac{2}{3}\sqrt{x^3} + 3x + 1\] \[y' = -\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + 3 = -\sqrt{x} + 3\]

• Шаг 2: Приравниваем производную к нулю:

\[-\sqrt{x} + 3 = 0\] \[\sqrt{x} = 3\] \[x = 9\]

• Шаг 3: Проверяем знак производной слева и справа от точки x = 9:

Пусть x = 4 (слева от 9):

\[y'(4) = -\sqrt{4} + 3 = -2 + 3 = 1 > 0\]

Пусть x = 16 (справа от 9):

\[y'(16) = -\sqrt{16} + 3 = -4 + 3 = -1 < 0\]

Производная меняет знак с плюса на минус в точке x = 9, следовательно, это точка максимума.

• Шаг 4: Определяем область определения функции. Так как у нас корень квадратный, то подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

\[x^3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 0\]

Таким образом, область определения функции: \[x \in [0; +\infty)\]

• Шаг 5: Проверяем точку x = 0:

Слева от 0 функции не существует. Справа от 0, при x = 1:

\[y'(1) = -\sqrt{1} + 3 = -1 + 3 = 2 > 0\]

В точке x = 0 производная меняет знак с минуса (не существует) на плюс, следовательно, это точка минимума.

• Шаг 6: Считаем количество точек экстремума:

У нас есть две точки экстремума: x = 0 (минимум) и x = 9 (максимум).

Ответ: 2