Найдите точку локального минимума функции f(x, y) = x³+y³– 18xy + 10. Вычислите минимальное значение функции. В ответе укажите три цифры после запятой.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим частные производные первого порядка.
• Производная по x:
\[ \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 - 18y \]
• Производная по y:
\[ \frac{\partial f}{\partial y} = 3y^2 - 18x \]
2. Шаг 2: Приравниваем частные производные к нулю и решаем систему уравнений.
• \( 3x^2 - 18y = 0 \)
• \( 3y^2 - 18x = 0 \)
Делим первое уравнение на 3:
• \( x^2 - 6y = 0 \)
• \( y = \frac{x^2}{6} \)
Делим второе уравнение на 3:
• \( y^2 - 6x = 0 \)
Подставляем значение y из первого уравнения во второе:
• \( (\frac{x^2}{6})^2 - 6x = 0 \)
• \( \frac{x^4}{36} - 6x = 0 \)
• \( x^4 - 216x = 0 \)
• \( x(x^3 - 216) = 0 \)
Получаем два решения:
• \( x = 0 \)
• \( x^3 = 216 \), следовательно, \( x = 6 \)
Теперь найдем соответствующие значения y:
• Если \( x = 0 \), то \( y = \frac{0^2}{6} = 0 \)
• Если \( x = 6 \), то \( y = \frac{6^2}{6} = 6 \)
Получаем две критические точки: (0, 0) и (6, 6).
3. Шаг 3: Находим частные производные второго порядка.
• \( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 6x \)
• \( \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 6y \)
• \( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = -18 \)
4. Шаг 4: Вычисляем определитель матрицы Гессе (D) для каждой критической точки.
• \( D = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \cdot \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} - (\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y})^2 \)
Для точки (0, 0):
• \( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(0,0) = 6 \cdot 0 = 0 \)
• \( \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(0,0) = 6 \cdot 0 = 0 \)
• \( D = 0 \cdot 0 - (-18)^2 = -324 \)
Так как \( D < 0 \), точка (0, 0) является седловой точкой.
Для точки (6, 6):
• \( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(6,6) = 6 \cdot 6 = 36 \)
• \( \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(6,6) = 6 \cdot 6 = 36 \)
• \( D = 36 \cdot 36 - (-18)^2 = 1296 - 324 = 972 \)
Так как \( D > 0 \) и \( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(6,6) > 0 \), точка (6, 6) является точкой локального минимума.
5. Шаг 5: Вычисляем минимальное значение функции в точке (6, 6).
\[ f(6, 6) = 6^3 + 6^3 - 18 \cdot 6 \cdot 6 + 10 = 216 + 216 - 648 + 10 = -206 \]

Ответ: -206.000