Найдите точку максимума функции $$y = (x+6)^2 \cdot e^{9-x}$$.

Для нахождения точки максимума функции $$y = (x+6)^2 \cdot e^{9-x}$$ выполним следующие шаги:

1. Находим производную функции:

Используем правило произведения и правило дифференцирования сложной функции:
$$y' = ((x+6)^2)' \cdot e^{9-x} + (x+6)^2 \cdot (e^{9-x})'$$

$$y' = 2(x+6) \cdot e^{9-x} + (x+6)^2 \cdot e^{9-x} \cdot (-1)$$

$$y' = 2(x+6)e^{9-x} - (x+6)^2e^{9-x}$$

2. Упрощаем выражение для производной:

Вынесем общий множитель $$ (x+6)e^{9-x} $$ за скобки:
$$y' = (x+6)e^{9-x} [2 - (x+6)]$$

$$y' = (x+6)e^{9-x} (2 - x - 6)$$

$$y' = (x+6)e^{9-x} (-x - 4)$$

$$y' = -(x+6)(x+4)e^{9-x}$$

3. Находим критические точки:

Приравниваем производную к нулю: $$y' = 0$$

$$-(x+6)(x+4)e^{9-x} = 0$$

Так как $$e^{9-x}$$ всегда больше нуля, то либо $$(x+6) = 0$$ либо $$(x+4) = 0$$

Отсюда получаем две критические точки:
$$x = -6$$ и $$x = -4$$

4. Определяем знаки производной на интервалах:

Рассмотрим числовую прямую и отметим на ней критические точки -6 и -4.


----(-6)----(-4)---->
x


Рассмотрим знаки производной на каждом из интервалов:

* $$x < -6$$, например, x = -7: $$y' = -(-7+6)(-7+4)e^{9-(-7)} = -(-1)(-3)e^{16} = -3e^{16} < 0$$
* $$-6 < x < -4$$, например, x = -5: $$y' = -(-5+6)(-5+4)e^{9-(-5)} = -(1)(-1)e^{14} = e^{14} > 0$$
* $$x > -4$$, например, x = -3: $$y' = -(-3+6)(-3+4)e^{9-(-3)} = -(3)(1)e^{12} = -3e^{12} < 0$$

5. Определяем точку максимума:

Производная меняет знак с плюса на минус в точке $$x = -4$$, значит, это точка максимума.

Ответ: -4