Найдите точку максимума функции f(x) = \frac{1}{2x + 1} +2x.

Ответ: -1

Решение:

1. Находим производную функции: \[f'(x) = \left(\frac{1}{2x+1} + 2x\right)' = -\frac{2}{(2x+1)^2} + 2\]
2. Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение: \[-\frac{2}{(2x+1)^2} + 2 = 0\]\[\frac{2}{(2x+1)^2} = 2\]\[(2x+1)^2 = 1\]\[2x+1 = \pm 1\]
   • Если \(2x+1 = 1\), то \(2x = 0\) и \(x = 0\).
   • Если \(2x+1 = -1\), то \(2x = -2\) и \(x = -1\).
3. Проверяем знаки производной на интервалах:
   • При \(x < -1\), например, \(x = -2\), \(f'(-2) = -\frac{2}{(-4+1)^2} + 2 = -\frac{2}{9} + 2 > 0\) (функция возрастает).
   • При \(-1 < x < 0\), например, \(x = -0.5\), \(f'(-0.5) = -\frac{2}{(-1+1)^2} + 2\) (не определено). Нужно взять другое значение, например, \(x = -0.25\), \(f'(-0.25) = -\frac{2}{(-0.5+1)^2} + 2 = -\frac{2}{0.25} + 2 = -8 + 2 < 0\) (функция убывает).
   • При \(x > 0\), например, \(x = 1\), \(f'(1) = -\frac{2}{(2+1)^2} + 2 = -\frac{2}{9} + 2 > 0\) (функция возрастает).
4. Таким образом, в точке \(x = -1\) функция меняет возрастание на убывание, следовательно, это точка максимума.
5. В точке \(x = 0\) функция меняет убывание на возрастание, следовательно, это точка минимума.

Ответ: -1