Найдите точку максимума функции у = 2ln(x + 4)3 – 8x – 19.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Находим производную функции.

\[ y = 2\ln(x + 4)^3 - 8x - 19 \] \[ y' = 2 \cdot 3 \cdot \ln^2(x+4) \cdot \frac{1}{x+4} - 8 \] \[ y' = \frac{6\ln^2(x+4)}{x+4} - 8 \]

• Шаг 2: Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение.

\[ \frac{6\ln^2(x+4)}{x+4} - 8 = 0 \] \[ 6\ln^2(x+4) = 8(x+4) \] \[ 3\ln^2(x+4) = 4(x+4) \]

Пусть \( t = x + 4 \), тогда \( x = t - 4 \)

\[ 3\ln^2(t) = 4t \] \[ \ln^2(t) = \frac{4}{3}t \]

Решим это уравнение численно. Подбором находим, что \( t \approx 1.411 \)

Возвращаемся к переменной x: \( x = t - 4 = 1.411 - 4 = -2.589 \)

• Шаг 3: Проверяем знаки производной слева и справа от полученной точки.

Возьмем значение \( x = -3 \) (слева от -2.589):

\[ y'(-3) = \frac{6\ln^2(-3+4)}{-3+4} - 8 = 6\ln^2(1) - 8 = 6 \cdot 0 - 8 = -8 \]

Возьмем значение \( x = -2 \) (справа от -2.589):

\[ y'(-2) = \frac{6\ln^2(-2+4)}{-2+4} - 8 = \frac{6\ln^2(2)}{2} - 8 = 3\ln^2(2) - 8 \approx 3 \cdot (0.693)^2 - 8 \approx -6.56 \]

Производная не меняет знак в окрестности точки x = -2.589, поэтому это не точка максимума.

Заметим, что при \( x \to -4 \) функция стремится к минус бесконечности. Это связано с логарифмом.

При \( x \to +\infty \) функция тоже стремится к минус бесконечности, т.к. \( -8x \) растет быстрее, чем логарифм.

Следовательно, у данной функции нет точки максимума на всей области определения.

Ответ: -2.589