Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Найдите точку максимума функции у = (2x – 1) cos x - 2 sinx + 4, принадлежащую промежутку (0; π/2).
Ответ:
Разбираемся:
Краткое пояснение: Для нахождения точки максимума функции нужно найти ее производную, приравнять к нулю и решить полученное уравнение на заданном промежутке. Затем проверить знаки производной на этом промежутке.
Пошаговое решение:
- Шаг 1: Находим производную функции:
- Шаг 2: Приравниваем производную к нулю:
- Шаг 3: Решаем уравнение на промежутке (0; π/2).
Так как sin(x) = 0 только при x = 0 и x = π, эти значения не входят в наш интервал. Следовательно: - Шаг 4: Проверяем знаки производной на промежутке (0; π/2) для определения, является ли x = 1/2 точкой максимума:
- Выбираем значение x меньше 1/2, например, x = 0.2:
- Выбираем значение x больше 1/2, например, x = 1:
\[y' = (2) \cdot cos(x) + (2x - 1) \cdot (-sin(x)) - 2 \cdot cos(x)\]
\[y' = 2cos(x) - (2x - 1)sin(x) - 2cos(x)\]
\[y' = - (2x - 1)sin(x)\]
\[-(2x - 1)sin(x) = 0\]
\[2x - 1 = 0\]
\[2x = 1\]
\[x = \frac{1}{2}\]
\[y'(0.2) = -(2 \cdot 0.2 - 1)sin(0.2) = -(-0.6)sin(0.2) > 0\]
\[y'(1) = -(2 \cdot 1 - 1)sin(1) = -sin(1) < 0\]
Так как производная меняет знак с плюса на минус в точке x = 1/2, то это точка максимума.
Ответ: 0.5
