№12 Найдите точку максимума функции у = (2x-3) cos x – 2 sin x + 4, принадлежащую промежутку (0;).

Для решения задачи необходимо найти производную заданной функции, определить критические точки и исследовать знак производной на заданном промежутке.

1. Найдём производную функции $$y = (2x - 3) \cos x - 2 \sin x + 4$$:

$$y' = 2 \cos x - (2x - 3) \sin x - 2 \cos x = - (2x - 3) \sin x$$

2. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:

$$-(2x - 3) \sin x = 0$$

Это уравнение имеет два решения: $$2x - 3 = 0$$ или $$\sin x = 0$$.

$$x = \frac{3}{2} = 1.5$$ или $$x = \pi n, n \in Z$$.

В промежутке $$(0; \frac{\pi}{2})$$ находится точка $$x = \frac{3}{2}$$, так как $$\pi \approx 3.14, \frac{\pi}{2} \approx 1.57$$. Значит, $$x=0$$ не входит в данный промежуток.

3. Исследуем знак производной на промежутке $$(0; \frac{\pi}{2})$$:

Рассмотрим значения x меньше и больше 1.5: $$y' = - (2x - 3) \sin x$$

Пусть $$x = 1$$, тогда $$y' = - (2 \cdot 1 - 3) \sin 1 = \sin 1 > 0$$.

Пусть $$x = 1.55$$, тогда $$y' = - (2 \cdot 1.55 - 3) \sin 1.55 = - (3.1 - 3) \sin 1.55 = - 0.1 \sin 1.55 < 0$$.

Значит, в точке $$x = \frac{3}{2}$$ производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, это точка максимума.

Ответ: 1.5