№12 Найдите точку максимума функции у = (2x-3) cos x - 2 sin x + 4, принадлежащую промежутку (0; \frac{\pi}{2}).

Для нахождения точки максимума функции на заданном интервале, нужно найти производную функции, приравнять её к нулю и найти корни уравнения, принадлежащие интервалу. Затем проверить знак производной слева и справа от найденных точек.

Найдем производную функции:

$$y = (2x-3) \cos x - 2 \sin x + 4$$ $$y' = 2 \cos x - (2x-3) \sin x - 2 \cos x$$ $$y' = - (2x-3) \sin x$$

Приравняем производную к нулю:

$$-(2x-3) \sin x = 0$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$$2x-3 = 0 \quad \text{или} \quad \sin x = 0$$

Решим первое уравнение:

$$2x = 3$$ $$x = \frac{3}{2} = 1.5$$

Решим второе уравнение:

$$\sin x = 0$$ $$x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$$

На интервале $$(0; \frac{\pi}{2})$$ находится только один корень первого уравнения $$x = 1.5$$. Решения второго уравнения не попадают в заданный интервал, так как $$\pi \approx 3.14$$, $$\frac{\pi}{2} \approx 1.57$$.

Проверим знак производной на интервале $$(0; \frac{\pi}{2})$$.

1) Пусть $$x = 1$$. Тогда $$y'(1) = -(2 \cdot 1 - 3) \sin 1 = -(-1) \sin 1 = \sin 1 > 0$$

2) Пусть $$x = 1.55$$. Тогда $$y'(1.55) = -(2 \cdot 1.55 - 3) \sin 1.55 = -(3.1 - 3) \sin 1.55 = -0.1 \sin 1.55 < 0$$

Так как производная меняет знак с плюса на минус при переходе через точку $$x = 1.5$$, то это точка максимума.

Ответ: 1,5