Найдите точку максимума функции y = -2/3*x^(3/2) + 3x + 1.

Решение:

1. Находим производную функции:
   y′ = ( -\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 3x + 1 )′
   y′ = -\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + 3
   y′ = -x^{\frac{1}{2}} + 3
2. Приравниваем производную к нулю для нахождения критических точек:
   -x^{\frac{1}{2}} + 3 = 0
   x^{\frac{1}{2}} = 3
   x = 9
3. Проверяем знак производной слева и справа от критической точки:
   При x < 9 (например, x = 4): y′ = -\sqrt{4} + 3 = -2 + 3 = 1 > 0 (функция возрастает).
   При x > 9 (например, x = 16): y′ = -\sqrt{16} + 3 = -4 + 3 = -1 < 0 (функция убывает).
4. Определяем точку максимума:
   Так как производная меняет знак с плюса на минус в точке x = 9, то это точка максимума.

Ответ: x = 9