Найдите точку максимума функции y = 4 + 9x − 4x√x.

Область определения: \(x\ge 0\). Положим \(t=\sqrt{x}\), тогда \(x=t^2\), и функция примет вид \(y=4+9t^2-4t^3\), где \(t\ge0\).

\(y'(t)=18t-12t^2=6t(3-2t)\). Критические точки: \(t=0\) и \(t=\frac32\). При \(t=\frac32\) производная меняет знак с плюса на минус, поэтому функция достигает максимума.

Тогда \(x=t^2=\frac94\), а \(y=4+9\cdot\frac94-4\cdot\frac94\cdot\frac32=\frac{35}{4}\).

Ответ: точка максимума \(\left(\frac94;\frac{35}{4}\right)\).