Найдите точку максимума функции y = 7 + 6x - 2x√x.

Решение:

Чтобы найти точку максимума функции, нужно найти её производную, приравнять к нулю и проанализировать полученные значения.

1. Преобразуем функцию: \( y = 7 + 6x - 2x \cdot x^{\frac{1}{2}} = 7 + 6x - 2x^{\frac{3}{2}} \).
2. Найдем производную функции:
   \( y' = 0 + 6 - 2 \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} \)
   \( y' = 6 - 3x^{\frac{1}{2}} \)
   \( y' = 6 - 3\sqrt{x} \)
3. Приравняем производную к нулю:
   \( 6 - 3\sqrt{x} = 0 \)
   \( 6 = 3\sqrt{x} \)
   \( \sqrt{x} = 2 \)
   \( x = 4 \)
4. Проверим, является ли точка \( x = 4 \) максимумом. Найдем вторую производную:
   \( y'' = \frac{d}{dx}(6 - 3x^{\frac{1}{2}}) \)
   \( y'' = -3 \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} \)
   \( y'' = -\frac{3}{2}x^{-\frac{1}{2}} = -\frac{3}{2\sqrt{x}} \)
5. Подставим \( x = 4 \>0\) во вторую производную:
   \( y''(4) = -\frac{3}{2\sqrt{4}} = -\frac{3}{2\cdot 2} = -\frac{3}{4} \)
6. Так как \( y''(4) < 0 \), то в точке \( x = 4 \) функция имеет максимум.

Ответ: точка максимума x = 4.