Найдите точку максимума функции y = (8x + 5)e^{-8x-6}

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем первую производную функции.
   Функция: \( y = (8x + 5)e^{-8x-6} \)
   Используем правило производной произведения \( (uv)' = u'v + uv' \), где \( u = 8x + 5 \) и \( v = e^{-8x-6} \>.
   \( u' = 8 \)
   \( v' = e^{-8x-6} · (-8) = -8e^{-8x-6} \)
   \( y' = 8 · e^{-8x-6} + (8x + 5) · (-8e^{-8x-6}) \)
   \( y' = e^{-8x-6} (8 - 8(8x + 5)) \)
   \( y' = e^{-8x-6} (8 - 64x - 40) \)
   \( y' = e^{-8x-6} (-64x - 32) \>
2. Шаг 2: Приравняем первую производную к нулю и найдем критические точки.
   \( e^{-8x-6} (-64x - 32) = 0 \)
   Так как \( e^{-8x-6} \) всегда больше нуля, нам нужно решить:
   \( -64x - 32 = 0 \)
   \( -64x = 32 \)
   \( x = \frac{32}{-64} \)
   \( x = -0.5 \>
3. Шаг 3: Найдем вторую производную для определения максимума.
   \( y' = (-64x - 32)e^{-8x-6} \)
   Используем правило производной произведения снова, где \( u = -64x - 32 \) и \( v = e^{-8x-6} \>.
   \( u' = -64 \)
   \( v' = -8e^{-8x-6} \)
   \( y'' = -64 · e^{-8x-6} + (-64x - 32) · (-8e^{-8x-6}) \)
   \( y'' = e^{-8x-6} (-64 + 8(64x + 32)) \)
   \( y'' = e^{-8x-6} (-64 + 512x + 256) \)
   \( y'' = e^{-8x-6} (512x + 192) \>
4. Шаг 4: Проверим знак второй производной в критической точке x = -0.5.
   \( y''(-0.5) = e^{-8(-0.5)-6} (512(-0.5) + 192) \)
   \( y''(-0.5) = e^{4-6} (-256 + 192) \)
   \( y''(-0.5) = e^{-2} (-64) \>
   Так как \( y''(-0.5) < 0 \), то в точке \( x = -0.5 \) функция имеет максимум.

Ответ: Точка максимума функции находится при x = -0.5.