Найдите точку максимума функции $$y = -\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + 3x + 1$$.

Решение:

1. Находим производную функции:

   \[ y' = \left( -\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + 3x + 1 \right)' \]

   \[ y' = -\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2} - 1} + 3 \]

   \[ y' = -x^{\frac{1}{2}} + 3 \]

2. Приравниваем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

   \[ -x^{\frac{1}{2}} + 3 = 0 \]

   \[ x^{\frac{1}{2}} = 3 \]

   Возведем обе части в квадрат:

   \[ (x^{\frac{1}{2}})^2 = 3^2 \]

   \[ x = 9 \]

3. Проверяем знак производной на интервалах до и после критической точки:

   Возьмем точку $$x = 1$$ (левее 9): $$y'(1) = -1^{\frac{1}{2}} + 3 = -1 + 3 = 2 > 0$$. Функция возрастает.

   Возьмем точку $$x = 16$$ (правее 9): $$y'(16) = -16^{\frac{1}{2}} + 3 = -4 + 3 = -1 < 0$$. Функция убывает.

4. Определяем точку максимума: Так как производная меняет знак с плюса на минус в точке $$x = 9$$, то это точка максимума.

Ответ: $$x = 9$$