Найдите точку максимума функции $$y = -\frac{x}{x^2+289}$$.

Question

$Фото задания: Найдите точку максимума функции $y = -\frac{x}{x^2+289}$.$ Фото задания

Accepted Answer

Чтобы найти точку максимума функции, вычислим её производную. Используем правило дифференцирования частного: $ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $.
Пусть $ u = -x $ и $ v = x^2+289 $. Тогда $ u' = -1 $ и $ v' = 2x $.
Вычислим производную функции: \[ y' = \frac{(-1)(x^2+289) - (-x)(2x)}{(x^2+289)^2} = \frac{-x^2 - 289 + 2x^2}{(x^2+289)^2} = \frac{x^2 - 289}{(x^2+289)^2} \]
Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \[ \frac{x^2 - 289}{(x^2+289)^2} = 0 \]
Знаменатель $ (x^2+289)^2 $ всегда положителен, поэтому достаточно приравнять числитель к нулю: $ x^2 - 289 = 0 $ $ x^2 = 289 $ $ x = \pm \sqrt{289} $ $ x = \pm 17 $
Определим знаки производной на интервалах.

При $ x < -17 $, например $ x = -20 $: $ y' = \frac{(-20)^2 - 289}{(\dots)^2} = \frac{400 - 289}{(\dots)^2} > 0 $. Функция возрастает.
При $ -17 < x < 17 $, например $ x = 0 $: $ y' = \frac{0^2 - 289}{(\dots)^2} = \frac{-289}{(\dots)^2} < 0 $. Функция убывает.
При $ x > 17 $, например $ x = 20 $: $ y' = \frac{20^2 - 289}{(\dots)^2} = \frac{400 - 289}{(\dots)^2} > 0 $. Функция возрастает.

Точка $ x = -17 $ является точкой минимума, так как производная меняет знак с плюса на минус.
Точка $ x = 17 $ является точкой максимума, так как производная меняет знак с минуса на плюс.

Ответ: 17