Найдите точку максимума функции y = x⁴ - 2x² + 13.

Решение:

Для нахождения точки максимума функции \( y = x^4 - 2x^2 + 13 \), нам нужно найти первую производную функции, приравнять её к нулю и решить полученное уравнение.

1. Найдём первую производную функции: \( y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 2x^2 + 13) = 4x^3 - 4x \)
2. Приравняем производную к нулю: \( 4x^3 - 4x = 0 \)
3. Вынесем общий множитель \( 4x \): \( 4x(x^2 - 1) = 0 \)
4. Решим полученное уравнение: \( 4x = 0 \) или \( x^2 - 1 = 0 \).
5. Из \( 4x = 0 \) следует \( x = 0 \).
6. Из \( x^2 - 1 = 0 \) следует \( x^2 = 1 \), откуда \( x = 1 \) или \( x = -1 \).
7. Теперь нам нужно определить, какие из этих точек являются точками максимума. Для этого найдём вторую производную: \( y'' = \frac{d}{dx}(4x^3 - 4x) = 12x^2 - 4 \).
8. Подставим найденные значения \( x \) во вторую производную:
• При \( x = 0 \): \( y'' = 12(0)^2 - 4 = -4 \). Так как \( y'' < 0 \), то при \( x = 0 \) функция имеет максимум.
• При \( x = 1 \): \( y'' = 12(1)^2 - 4 = 12 - 4 = 8 \). Так как \( y'' > 0 \), то при \( x = 1 \) функция имеет минимум.
• При \( x = -1 \): \( y'' = 12(-1)^2 - 4 = 12 - 4 = 8 \). Так как \( y'' > 0 \), то при \( x = -1 \) функция имеет минимум.

Точка максимума функции — \( x=0 \).

Ответ: 0