Найдите точку максимума функции y = (x - 4)²(x + 5) + 8.

Решение:

1. Для нахождения точки максимума функции \( y = (x - 4)^2(x + 5) + 8 \) необходимо найти её производную и приравнять её к нулю.
2. Раскроем скобки для удобства дифференцирования: \( y = (x^2 - 8x + 16)(x + 5) + 8 \)
3. \( y = x^3 + 5x^2 - 8x^2 - 40x + 16x + 80 + 8 \)
4. \( y = x^3 - 3x^2 - 24x + 88 \)
5. Теперь найдём производную функции: \( y' = 3x^2 - 6x - 24 \)
6. Приравняем производную к нулю: \( 3x^2 - 6x - 24 = 0 \)
7. Разделим на 3: \( x^2 - 2x - 8 = 0 \)
8. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \). \( \sqrt{D} = 6 \).
9. Найдем корни: \( x_1 = \frac{2 + 6}{2} = 4 \) и \( x_2 = \frac{2 - 6}{2} = -2 \).
10. Определим, какая из точек является точкой максимума. Для этого рассмотрим знак производной на интервалах:
• При \( x < -2 \), например \( x = -3 \): \( y' = 3(-3)^2 - 6(-3) - 24 = 3(9) + 18 - 24 = 27 + 18 - 24 = 21 > 0 \). Функция возрастает.
• При \( -2 < x < 4 \), например \( x = 0 \): \( y' = 3(0)^2 - 6(0) - 24 = -24 < 0 \). Функция убывает.
• При \( x > 4 \), например \( x = 5 \): \( y' = 3(5)^2 - 6(5) - 24 = 3(25) - 30 - 24 = 75 - 30 - 24 = 21 > 0 \). Функция возрастает.
11. Следовательно, при \( x = -2 \) функция имеет максимум, а при \( x = 4 \) — минимум.

Ответ: Точка максимума функции находится при x = -2.