Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Найдите точку максимума функции: 2) y=(x+2)*e2-x; 3) y=(4-x)*ex+4; 4) y=(9-x)*ex+9.
Ответ:
Краткое пояснение: Чтобы найти точку максимума функции, нужно найти производную функции, приравнять её к нулю и решить полученное уравнение. Затем проверить, меняет ли знак производная в окрестности найденной точки.
Решение:
Рассмотрим функцию 2) y=(x+2)*e^(2-x).
- Найдем производную функции:
\[y' = (x+2)' \cdot e^{2-x} + (x+2) \cdot (e^{2-x})' = e^{2-x} + (x+2) \cdot e^{2-x} \cdot (-1) = e^{2-x} - (x+2)e^{2-x} = e^{2-x}(1 - x - 2) = e^{2-x}(-x-1).\]
- Приравняем производную к нулю:
\[e^{2-x}(-x-1) = 0\]
\[-x-1 = 0\]
\[x = -1\]
- Определим знаки производной на промежутках (-∞, -1) и (-1, +∞).
При x < -1, -x-1 > 0, значит, y' > 0 (функция возрастает).
При x > -1, -x-1 < 0, значит, y' < 0 (функция убывает).
Следовательно, x = -1 является точкой максимума.
Рассмотрим функцию 3) y=(4-x)*e^(x+4).
- Найдем производную функции:
\[y' = (4-x)' \cdot e^{x+4} + (4-x) \cdot (e^{x+4})' = -e^{x+4} + (4-x) \cdot e^{x+4} = e^{x+4}(-1 + 4 - x) = e^{x+4}(3 - x).\]
- Приравняем производную к нулю:
\[e^{x+4}(3 - x) = 0\]
\[3 - x = 0\]
\[x = 3\]
- Определим знаки производной на промежутках (-∞, 3) и (3, +∞).
При x < 3, 3-x > 0, значит, y' > 0 (функция возрастает).
При x > 3, 3-x < 0, значит, y' < 0 (функция убывает).
Следовательно, x = 3 является точкой максимума.
Рассмотрим функцию 4) y=(9-x)*e^(x+9).
- Найдем производную функции:
\[y' = (9-x)' \cdot e^{x+9} + (9-x) \cdot (e^{x+9})' = -e^{x+9} + (9-x) \cdot e^{x+9} = e^{x+9}(-1 + 9 - x) = e^{x+9}(8 - x).\]
- Приравняем производную к нулю:
\[e^{x+9}(8 - x) = 0\]
\[8 - x = 0\]
\[x = 8\]
- Определим знаки производной на промежутках (-∞, 8) и (8, +∞).
При x < 8, 8-x > 0, значит, y' > 0 (функция возрастает).
При x > 8, 8-x < 0, значит, y' < 0 (функция убывает).
Следовательно, x = 8 является точкой максимума.
Ответ: 2) x=-1, 3) x=3, 4) x=8
