Найдите точку максимума и максимум функции f(x) = x³ - 75x - 24 sin(7π/6). В ответ запишите их сумму

Решение:

Для нахождения точки максимума и самого максимума функции \( f(x) = x^3 - 75x - 24 \sin{\frac{7\pi}{6}} \) необходимо найти производную функции и приравнять её к нулю.

1. Сначала найдём значение \( \sin{\frac{7\pi}{6}} \). \( \frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6} \). \( \sin{(\pi + \alpha)} = -\sin{\alpha} \). Следовательно, \( \sin{\frac{7\pi}{6}} = -\sin{\frac{\pi}{6}} = -0.5 \).
2. Подставим это значение в функцию: \( f(x) = x^3 - 75x - 24 \cdot (-0.5) = x^3 - 75x + 12 \).
3. Теперь найдём производную функции: \( f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 75x + 12) = 3x^2 - 75 \).
4. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 3x^2 - 75 = 0 \). \( 3x^2 = 75 \). \( x^2 = 25 \). \( x = \pm 5 \).
5. Определим, какая из этих точек является точкой максимума. Для этого найдём вторую производную: \( f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 75) = 6x \).
6. Проверим знаки второй производной в критических точках:
• При \( x = 5 \): \( f''(5) = 6 × 5 = 30 \). Так как \( f''(5) > 0 \), то \( x = 5 \) — точка минимума.
• При \( x = -5 \): \( f''(-5) = 6 × (-5) = -30 \). Так как \( f''(-5) < 0 \), то \( x = -5 \) — точка максимума.
7. Таким образом, точка максимума — \( x = -5 \).
8. Найдем значение функции в точке максимума (максимум функции): \( f(-5) = (-5)^3 - 75(-5) + 12 = -125 + 375 + 12 = 250 + 12 = 262 \).
9. Сумма точки максимума и максимума функции: \( -5 + 262 = 257 \).

Ответ: 257.