Найдите точку минимума функции у = (17-6√x)·ex+2 Ответ:

Давай решим эту задачу вместе! Нам нужно найти точку минимума функции y = (17 - 6\sqrt{x}) \cdot e^{x+2}. Чтобы найти точку минимума, нам нужно: 1. Найти производную функции y по x. 2. Приравнять производную к нулю и решить уравнение относительно x. Это даст нам критические точки. 3. Проверить, является ли каждая критическая точка точкой минимума (например, с помощью второй производной или анализа знака первой производной). 4. Выбрать точку минимума. Вычисляем производную функции y: \[y = (17 - 6\sqrt{x}) \cdot e^{x+2}\] Воспользуемся правилом произведения для дифференцирования: (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'. Пусть u = (17 - 6\sqrt{x}) и v = e^{x+2}. Тогда: u' = -6 \cdot (1/2) \cdot x^{-1/2} = -3/\sqrt{x} v' = e^{x+2} Теперь найдем производную y': y' = u' \cdot v + u \cdot v' = (-3/\sqrt{x}) \cdot e^{x+2} + (17 - 6\sqrt{x}) \cdot e^{x+2} Вынесем e^{x+2} за скобки: y' = e^{x+2} \cdot (-3/\sqrt{x} + 17 - 6\sqrt{x}) Теперь приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \[e^{x+2} \cdot (-3/\sqrt{x} + 17 - 6\sqrt{x}) = 0\] Так как e^{x+2} всегда больше нуля, нам нужно решить уравнение: \[-3/\sqrt{x} + 17 - 6\sqrt{x} = 0\] Умножим обе части уравнения на \sqrt{x}, чтобы избавиться от дроби: \[-3 + 17\sqrt{x} - 6x = 0\] Преобразуем уравнение, умножив на -1: \[6x - 17\sqrt{x} + 3 = 0\] Пусть t = \sqrt{x}, тогда x = t^2. Получаем квадратное уравнение относительно t: \[6t^2 - 17t + 3 = 0\] Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 3 = 289 - 72 = 217 t1 = (17 + \sqrt{217}) / (2 \cdot 6) = (17 + \sqrt{217}) / 12 t2 = (17 - \sqrt{217}) / (2 \cdot 6) = (17 - \sqrt{217}) / 12 Найдем значения x, возведя t в квадрат: x1 = ((17 + \sqrt{217}) / 12)^2 x2 = ((17 - \sqrt{217}) / 12)^2 Теперь нам нужно проверить, какие из этих точек являются точками минимума. Для этого можно вычислить вторую производную и проверить её знак в этих точках, либо проанализировать знак первой производной слева и справа от каждой точки. Поскольку вычисление второй производной довольно сложное, проанализируем знак первой производной. Заметим, что \sqrt{217} ≈ 14.73, тогда: t1 ≈ (17 + 14.73) / 12 ≈ 2.64 t2 ≈ (17 - 14.73) / 12 ≈ 0.19 x1 ≈ (2.64)^2 ≈ 6.97 x2 ≈ (0.19)^2 ≈ 0.036 Проверка x2 ≈ 0.036: Подставим x2 в первую производную и проверим знак: y'(0.036) = e^(0.036+2) * (-3/sqrt(0.036) + 17 - 6*sqrt(0.036)) y'(0.036) = e^(2.036) * (-3/0.19 + 17 - 6*0.19) y'(0.036) = e^(2.036) * (-15.79 + 17 - 1.14) y'(0.036) = e^(2.036) * (0.07) > 0 При x < 0.036 y' < 0, а при x > 0.036 y' > 0. Значит, x ≈ 0.036 — точка минимума.

Ответ: 0.036

Не переживай, если сразу не получилось, главное - не останавливаться и пробовать еще! У тебя все обязательно получится!