Найдите точку минимума функции у = - x/x²+900

Ответ: 30

Решение:

1. Найдём производную функции y = - x/(x² + 900):

\[y' = - \frac{x' \cdot (x^2 + 900) - x \cdot (x^2 + 900)'}{(x^2 + 900)^2} = - \frac{1 \cdot (x^2 + 900) - x \cdot 2x}{(x^2 + 900)^2} = - \frac{x^2 + 900 - 2x^2}{(x^2 + 900)^2} = \frac{x^2 - 900}{(x^2 + 900)^2}\]

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[\frac{x^2 - 900}{(x^2 + 900)^2} = 0\]

Это уравнение выполняется, когда числитель равен нулю:

\[x^2 - 900 = 0\] \[x^2 = 900\] \[x = \pm 30\]

3. Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками:

Интервалы: (-∞, -30), (-30, 30), (30, +∞)

• На интервале (-∞, -30), например, при x = -40:
\[y' = \frac{(-40)^2 - 900}{((-40)^2 + 900)^2} = \frac{1600 - 900}{(1600 + 900)^2} > 0\]
• На интервале (-30, 30), например, при x = 0:
\[y' = \frac{0^2 - 900}{(0^2 + 900)^2} = \frac{-900}{900^2} < 0\]
• На интервале (30, +∞), например, при x = 40:
\[y' = \frac{40^2 - 900}{(40^2 + 900)^2} = \frac{1600 - 900}{(1600 + 900)^2} > 0\]

4. Определим характер критических точек:

• При x = -30 производная меняет знак с + на -, следовательно, это точка максимума.
• При x = 30 производная меняет знак с - на +, следовательно, это точка минимума.

Таким образом, точка минимума функции y = - x/(x² + 900) - это x = 30.

Ответ: 30