Найдите точку минимума функции у = (х+3)² (x + 5) - 1.

Давай найдем точку минимума заданной функции \( y = (x+3)^2 (x+5) - 1 \). Для начала, раскроем скобки: \[ y = (x^2 + 6x + 9)(x+5) - 1 \] \[ y = x^3 + 5x^2 + 6x^2 + 30x + 9x + 45 - 1 \] \[ y = x^3 + 11x^2 + 39x + 44 \] Теперь найдем первую производную функции \( y \): \[ y' = 3x^2 + 22x + 39 \] Приравняем первую производную к нулю и решим квадратное уравнение, чтобы найти критические точки: \[ 3x^2 + 22x + 39 = 0 \] Используем квадратное уравнение для решения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ x = \frac{-22 \pm \sqrt{22^2 - 4 \cdot 3 \cdot 39}}{2 \cdot 3} \] \[ x = \frac{-22 \pm \sqrt{484 - 468}}{6} \] \[ x = \frac{-22 \pm \sqrt{16}}{6} \] \[ x = \frac{-22 \pm 4}{6} \] Получаем два значения для \( x \): \[ x_1 = \frac{-22 + 4}{6} = \frac{-18}{6} = -3 \] \[ x_2 = \frac{-22 - 4}{6} = \frac{-26}{6} = -\frac{13}{3} \approx -4.33 \] Теперь найдем вторую производную функции \( y \): \[ y'' = 6x + 22 \] Подставим каждое из значений \( x \) во вторую производную, чтобы определить, являются ли они точками минимума или максимума. Для \( x_1 = -3 \): \[ y''(-3) = 6(-3) + 22 = -18 + 22 = 4 \] Так как \( y''(-3) > 0 \), то \( x_1 = -3 \) является точкой минимума. Для \( x_2 = -\frac{13}{3} \): \[ y''(-\frac{13}{3}) = 6(-\frac{13}{3}) + 22 = -26 + 22 = -4 \] Так как \( y''(-\frac{13}{3}) < 0 \), то \( x_2 = -\frac{13}{3} \) является точкой максимума. Таким образом, точка минимума функции \( y \) находится в \( x = -3 \).

Ответ: -3

Ты отлично справился с заданием! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!