Найдите точку минимума функции у = x√x – 18x + 13.

Пошаговое решение:

1. Для начала найдем производную заданной функции. Функция имеет вид \(y = x\sqrt{x} - 18x + 13\). Представим \(x\sqrt{x}\) как \(x^{3/2}\). Тогда производная \(y' = \frac{3}{2}x^{1/2} - 18\).
2. Приравняем производную к нулю и найдем критические точки: \[\frac{3}{2}x^{1/2} - 18 = 0\] \[\frac{3}{2}\sqrt{x} = 18\] \[\sqrt{x} = \frac{18 \cdot 2}{3}\] \[\sqrt{x} = 12\] \[x = 144\]
3. Теперь проверим, является ли найденная точка точкой минимума. Для этого найдем вторую производную: \[y'' = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{3}{4\sqrt{x}}\]
4. Вычислим значение второй производной в точке \(x = 144\): \[y''(144) = \frac{3}{4\sqrt{144}} = \frac{3}{4 \cdot 12} = \frac{3}{48} = \frac{1}{16}\] Так как \(y''(144) > 0\), точка \(x = 144\) является точкой минимума.

Ответ: 144