Найдите точку минимума функции у = 5x - ln(x+4)⁵ + 9.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Находим производную функции: \( y' = 5 - \frac{5}{x+4} \)
• Шаг 2: Приравниваем производную к нулю: \( 5 - \frac{5}{x+4} = 0 \)
• Шаг 3: Решаем полученное уравнение:

• Шаг 4: Проверяем, является ли точка x = -3 точкой минимума. Для этого нужно убедиться, что производная меняет знак с минуса на плюс при переходе через эту точку.

Возьмем значения x меньше и больше -3, например, -3.5 и -2.5:

• Для x = -3.5: \( y'(-3.5) = 5 - \frac{5}{-3.5 + 4} = 5 - \frac{5}{0.5} = 5 - 10 = -5 \) (отрицательное значение)
• Для x = -2.5: \( y'(-2.5) = 5 - \frac{5}{-2.5 + 4} = 5 - \frac{5}{1.5} = 5 - \frac{10}{3} = \frac{15 - 10}{3} = \frac{5}{3} \) (положительное значение)

Так как производная меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку x = -3, это точка минимума.

Ответ: -3