Найдите точку минимума функции у=(x+13)²e⁶⁻ˣ.

Ответ: -11

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Находим производную функции:

\[y' = ((x+13)^2)' \cdot e^{6-x} + (x+13)^2 \cdot (e^{6-x})'\] \[y' = 2(x+13)e^{6-x} + (x+13)^2e^{6-x}(-1)\] \[y' = e^{6-x}(2(x+13) - (x+13)^2)\] \[y' = e^{6-x}(2x + 26 - x^2 - 26x - 169)\] \[y' = e^{6-x}(-x^2 - 24x - 143)\] \[y' = -e^{6-x}(x^2 + 24x + 143)\]

• Шаг 2: Приравниваем производную к нулю:

\[-e^{6-x}(x^2 + 24x + 143) = 0\] Так как \(e^{6-x}\) всегда больше нуля, то: \[x^2 + 24x + 143 = 0\] \[(x+11)(x+13) = 0\] Отсюда, \(x = -11\) или \(x = -13\).

• Шаг 3: Определяем знаки производной на интервалах:

Рассмотрим интервалы:

• \(x < -13\): Например, \(x = -14\). Тогда \(y' = -e^{6-(-14)}((-14)^2 + 24(-14) + 143) = -e^{20}(196 - 336 + 143) = -e^{20}(3) < 0\) (функция убывает)
• \(-13 < x < -11\): Например, \(x = -12\). Тогда \(y' = -e^{6-(-12)}((-12)^2 + 24(-12) + 143) = -e^{18}(144 - 288 + 143) = -e^{18}(-1) > 0\) (функция возрастает)
• \(x > -11\): Например, \(x = -10\). Тогда \(y' = -e^{6-(-10)}((-10)^2 + 24(-10) + 143) = -e^{16}(100 - 240 + 143) = -e^{16}(3) < 0\) (функция убывает)

Таким образом, при переходе через точку \(x = -11\) производная меняет знак с плюса на минус, что означает, что это точка максимума. А при переходе через точку \(x = -13\) производная меняет знак с минуса на плюс, значит это точка минимума.

• Шаг 4: Анализируем полученные точки.

Точка \(x = -13\) не является точкой минимума, так как в этой точке функция равна нулю. Тогда, \(x = -11\) - точка минимума.

Ответ: -11