Найдите точку минимума функции y = (x + 3)² (x + 5) - 1.

Давай решим эту задачу вместе! Чтобы найти точку минимума функции \(y = (x + 3)^2 (x + 5) - 1\), нам нужно найти её производную и приравнять её к нулю. 1. Найдём производную функции: \(y = (x + 3)^2 (x + 5) - 1\) Используем правило произведения: \((uv)' = u'v + uv'\), где \(u = (x + 3)^2\) и \(v = (x + 5)\). \(u' = 2(x + 3)\) \(v' = 1\) Теперь найдем производную \(y'\): \[y' = 2(x + 3)(x + 5) + (x + 3)^2 \cdot 1\] 2. Упростим выражение: \[y' = 2(x^2 + 8x + 15) + (x^2 + 6x + 9)\] \[y' = 2x^2 + 16x + 30 + x^2 + 6x + 9\] \[y' = 3x^2 + 22x + 39\] 3. Приравняем производную к нулю и найдём корни: \[3x^2 + 22x + 39 = 0\] Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[D = b^2 - 4ac = 22^2 - 4 \cdot 3 \cdot 39 = 484 - 468 = 16\] \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-22 + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-22 + 4}{6} = \frac{-18}{6} = -3\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-22 - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-22 - 4}{6} = \frac{-26}{6} = -\frac{13}{3} \approx -4.33\] 4. Определим, какая из точек является точкой минимума: Для этого найдём вторую производную \(y''\): \[y'' = (3x^2 + 22x + 39)' = 6x + 22\] Подставим найденные значения \(x\) в \(y''\): \[y''(-3) = 6(-3) + 22 = -18 + 22 = 4 > 0\] \[y''(-\frac{13}{3}) = 6(-\frac{13}{3}) + 22 = -26 + 22 = -4 < 0\] Так как \(y''(-3) > 0\), то \(x = -3\) является точкой минимума.

Ответ: -3

Ты отлично справился с этим заданием! Не останавливайся на достигнутом, и у тебя все получится!