Найдите точку минимума функции y=(1-2x)cosx+2sinx+7, принадлежащую промежутку (0;\(\frac{\pi}{2}\)).

Решение:

Чтобы найти точку минимума функции \( y=(1-2x)\cos x+2\sin x+7 \) на промежутке \( (0; \frac{\pi}{2}) \), нам нужно найти первую производную функции, приравнять её к нулю и найти критические точки. Затем проверить, какая из них является точкой минимума.

1. Найдем первую производную функции \( y \):
   \( y' = \frac{d}{dx}((1-2x)\cos x+2\sin x+7) \)
   Используем правило произведения для \( (1-2x)\cos x \): \( (1-2x)'\cos x + (1-2x)(\cos x)' = -2\cos x + (1-2x)(-\sin x) = -2\cos x - (1-2x)\sin x \)
   Производная от \( 2\sin x \) равна \( 2\cos x \).
   Производная от константы 7 равна 0.
   Итак, \( y' = -2\cos x - (1-2x)\sin x + 2\cos x = -(1-2x)\sin x = (2x-1)\sin x \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
   \( (2x-1)\sin x = 0 \)
   Это уравнение имеет два возможных случая:
   а) \( 2x-1 = 0 \) → \( 2x = 1 \) → \( x = \frac{1}{2} \)
   б) \( \sin x = 0 \) → \( x = n\pi \), где \( n \) — целое число.
3. Теперь проверим, какие из этих точек попадают в заданный промежуток \( (0; \frac{\pi}{2}) \).
   а) \( x = \frac{1}{2} \). Так как \( 0 < \frac{1}{2} < \frac{\pi}{2} \) (приблизительно \( 0 < 0.5 < 1.57 \)), эта точка принадлежит промежутку.
   б) \( x = n\pi \). Для \( n=0 \), \( x=0 \), что не входит в открытый интервал. Для \( n=1 \), \( x=\pi \), что больше \( \frac{\pi}{2} \). Другие целые значения \( n \) также выведут \( x \) за пределы интервала.
4. Остается только одна критическая точка в интервале: \( x = \frac{1}{2} \). Проверим знак производной до и после этой точки.
5. Возьмем значение \( x \) из интервала \( (0; \frac{1}{2}) \), например, \( x = 0.1 \).
   \( y'(0.1) = (2(0.1)-1)\sin(0.1) = (0.2-1)\sin(0.1) = -0.8\sin(0.1) \). Так как \( \sin(0.1) > 0 \), то \( y'(0.1) < 0 \). Функция убывает.
   Возьмем значение \( x \) из интервала \( (\frac{1}{2}; \frac{\pi}{2}) \), например, \( x = 1 \).
   \( y'(1) = (2(1)-1)\sin(1) = (2-1)\sin(1) = 1\sin(1) \). Так как \( \sin(1) > 0 \) (так как \( 1 \) радиан находится в первой четверти), то \( y'(1) > 0 \). Функция возрастает.
   Так как функция меняет знак с минуса на плюс в точке \( x = \frac{1}{2} \), эта точка является точкой минимума.
6. Теперь найдем значение функции в этой точке:
   \( y(\frac{1}{2}) = (1-2\cdot\frac{1}{2})\cos(\frac{1}{2}) + 2\sin(\frac{1}{2}) + 7 \)
   \( y(\frac{1}{2}) = (1-1)\cos(\frac{1}{2}) + 2\sin(\frac{1}{2}) + 7 \)
   \( y(\frac{1}{2}) = 0 \cdot \cos(\frac{1}{2}) + 2\sin(\frac{1}{2}) + 7 \)
   \( y(\frac{1}{2}) = 2\sin(\frac{1}{2}) + 7 \).

Ответ: Точка минимума находится при \( x = \frac{1}{2} \). Значение функции в этой точке равно \( 2\sin(\frac{1}{2}) + 7 \). Запрашивается точка минимума, то есть её x-координата.

Ответ: \( x = \frac{1}{2} \).