Найдите точку минимума функции y = 19 + 4x - x^3 / 3.

Решение:

Для нахождения точки минимума функции \( y = 19 + 4x - \frac{x^3}{3} \) необходимо найти производную функции, приравнять её к нулю и определить, где производная меняет знак с минуса на плюс.

1. Найдем производную функции: \( y' = (19 + 4x - \frac{x^3}{3})' = 4 - x^2 \).
2. Приравняем производную к нулю: \( 4 - x^2 = 0 \) \( x^2 = 4 \) \( x = ± 2 \).
3. Определим знаки производной на интервалах:
   • При \( x < -2 \), например, \( x = -3 \), \( y' = 4 - (-3)^2 = 4 - 9 = -5 < 0 \). Функция убывает.
   • При \( -2 < x < 2 \), например, \( x = 0 \), \( y' = 4 - 0^2 = 4 > 0 \). Функция возрастает.
   • При \( x > 2 \), например, \( x = 3 \), \( y' = 4 - 3^2 = 4 - 9 = -5 < 0 \). Функция убывает.
4. Точка \( x = -2 \) является точкой минимума, так как производная меняет знак с минуса на плюс. Точка \( x = 2 \) является точкой максимума.

Ответ: x = -2.