Найдите точку минимума функции y = 9x – ln(x + 9)^9.

Решение:

Чтобы найти точку минимума функции, нужно взять её производную, приравнять к нулю и решить полученное уравнение.

1. Найдем производную функции \( y = 9x - \ln(x+9)^9 \). Используем правило производной логарифма \( (\ln u)' = \frac{u'}{u} \) и свойство логарифма \( \ln a^b = b \ln a \).
2. Перепишем функцию: \( y = 9x - 9 \ln(x+9) \).
3. Возьмем производную: \( y' = (9x - 9 \ln(x+9))' = 9 - 9 · \frac{1}{x+9} \).
4. Приравняем производную к нулю: \( 9 - \frac{9}{x+9} = 0 \).
5. Решим уравнение: \( 9 = \frac{9}{x+9} \).
6. Умножим обе части на \( x+9 \) (при условии \( x \neq -9 \)): \( 9(x+9) = 9 \).
7. Разделим обе части на 9: \( x+9 = 1 \).
8. Найдем \( x \): \( x = 1 - 9 = -8 \).
9. Проверим, является ли \( x = -8 \) точкой минимума. Для этого возьмем вторую производную: \( y'' = \left( 9 - \frac{9}{x+9} \right)' = 0 - 9 · \left( (x+9)^{-1} \right)' = -9 · (-1) · (x+9)^{-2} = \frac{9}{(x+9)^2} \).
10. Подставим \( x = -8 \) во вторую производную: \( y''(-8) = \frac{9}{(-8+9)^2} = \frac{9}{1^2} = 9 \).
11. Так как \( y''(-8) > 0 \), то \( x = -8 \) является точкой минимума.

Ответ: -8.