Найдите точку минимума функции y = (x² – 17x + 17) ⋅ e⁷⁻ˣ.

Решение:

Чтобы найти точку минимума функции, необходимо найти производную функции, приравнять её к нулю и определить знак производной на интервалах.

Дана функция: \( y = (x^2 - 17x + 17) \cdot e^{7-x} \).

Найдем производную функции, используя правило произведения \( (uv)' = u'v + uv' \), где \( u = x^2 - 17x + 17 \) и \( v = e^{7-x} \).

Найдем производные \( u' \) и \( v' \):

\( u' = (x^2 - 17x + 17)' = 2x - 17 \)

\( v' = (e^{7-x})' = e^{7-x} \cdot (7-x)' = e^{7-x} \cdot (-1) = -e^{7-x} \)

Теперь найдем производную функции \( y' \):

\[ y' = (2x - 17) \cdot e^{7-x} + (x^2 - 17x + 17) \cdot (-e^{7-x}) \]

\[ y' = e^{7-x} \cdot ((2x - 17) - (x^2 - 17x + 17)) \]

\[ y' = e^{7-x} \cdot (2x - 17 - x^2 + 17x - 17) \]

\[ y' = e^{7-x} \cdot (-x^2 + 19x - 34) \]

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ e^{7-x} \cdot (-x^2 + 19x - 34) = 0 \]

Так как \( e^{7-x} \) всегда больше нуля, то необходимо решить квадратное уравнение:

\[ -x^2 + 19x - 34 = 0 \]

Умножим на -1:

\[ x^2 - 19x + 34 = 0 \]

Найдем дискриминант:

\[ D = (-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 34 = 361 - 136 = 225 \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{19 - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{19 - 15}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

\[ x_2 = \frac{19 + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{19 + 15}{2} = \frac{34}{2} = 17 \]

Теперь определим знак производной на интервалах \( (-\infty, 2) \), \( (2, 17) \) и \( (17, \infty) \).

Возьмем тестовые точки:

• На интервале \( (-\infty, 2) \), например \( x=0 \): \( y'(0) = e^7 \cdot (-0^2 + 19 \cdot 0 - 34) = -34e^7 < 0 \). Функция убывает.
• На интервале \( (2, 17) \), например \( x=3 \): \( y'(3) = e^4 \cdot (-3^2 + 19 \cdot 3 - 34) = e^4 \cdot (-9 + 57 - 34) = e^4 \cdot 14 > 0 \). Функция возрастает.
• На интервале \( (17, \infty) \), например \( x=18 \): \( y'(18) = e^{-11} \cdot (-18^2 + 19 \cdot 18 - 34) = e^{-11} \cdot (-324 + 342 - 34) = e^{-11} \cdot (-16) < 0 \). Функция убывает.

Точка \( x=2 \) является точкой минимума, так как производная меняет знак с минуса на плюс.

Точка \( x=17 \) является точкой максимума.

Ответ: 2.