Найдите точку минимума функции y = x^(3/2) - 18x + 29.

Решение:

Чтобы найти точку минимума функции, нужно взять её производную, приравнять к нулю и найти значения x. Затем проверить, является ли найденная точка минимумом.

1. Найдем производную функции \( y = x^{\frac{3}{2}} - 18x + 29 \):
   \( y' = \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} - 18 \)
   \( y' = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} - 18 \)
2. Приравняем производную к нулю:
   \( \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} - 18 = 0 \)
   \( \frac{3}{2}\sqrt{x} = 18 \)
   \( \sqrt{x} = 18 \cdot \frac{2}{3} \)
   \( \sqrt{x} = 12 \)
   \( x = 12^2 \)
   \( x = 144 \)
3. Проверим, является ли эта точка минимумом. Для этого возьмем вторую производную:
   \( y'' = \frac{d}{dx}\left(\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} - 18\right) \)
   \( y'' = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} \)
   \( y'' = \frac{3}{4}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{3}{4\sqrt{x}} \)
4. Подставим \( x = 144 \>0\) во вторую производную:
   \( y''(144) = \frac{3}{4\sqrt{144}} = \frac{3}{4\cdot 12} = \frac{3}{48} = \frac{1}{16} \)
5. Так как \( y''(144) > 0 \), то в точке \( x = 144 \>0\) функция имеет минимум.

Ответ: точка минимума x = 144.