Найдите точку минимума функции y = (x - 4) e^(x+4).

Для нахождения точки минимума функции $$y = (x - 4) e^{x+4}$$, найдем первую производную:

$$y' = (x - 4)' e^{x+4} + (x - 4) (e^{x+4})' = 1 · e^{x+4} + (x - 4) e^{x+4} = e^{x+4} (1 + x - 4) = e^{x+4} (x - 3)$$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $$e^{x+4} (x - 3) = 0$$. Так как $$e^{x+4}$$ всегда больше нуля, то $$x - 3 = 0$$, откуда $$x = 3$$. Найдем вторую производную для определения характера точки:

$$y'' = (e^{x+4})' (x - 3) + e^{x+4} (x - 3)' = e^{x+4} (x - 3) + e^{x+4} · 1 = e^{x+4} (x - 3 + 1) = e^{x+4} (x - 2)$$

Подставим $$x = 3$$ во вторую производную: $$y''(3) = e^{3+4} (3 - 2) = e^7 · 1 = e^7$$. Так как $$y''(3) > 0$$, то в точке $$x = 3$$ функция имеет минимум.