Найдите точку минимума функции y = - x / (x^2 + 256)

Привет! Давай разберёмся с этой задачей вместе.

Чтобы найти точку минимума функции, нам нужно взять производную этой функции, приравнять её к нулю и решить полученное уравнение. А потом проверить, действительно ли это точка минимума.

Наша функция:

• \[ y = - \frac{x}{x^2 + 256} \]

Шаг 1: Находим производную функции.

Для этого будем использовать правило дифференцирования частного: \( (u/v)' = (u'v - uv') / v^2 \).

Здесь:

• \[ u = -x \]
• \[ v = x^2 + 256 \]

Найдем производные от u и v:

• \[ u' = -1 \]
• \[ v' = 2x \]

Теперь подставляем всё в формулу производной:

• \[ y' = \frac{(-1)(x^2 + 256) - (-x)(2x)}{(x^2 + 256)^2} \]
• \[ y' = \frac{-x^2 - 256 + 2x^2}{(x^2 + 256)^2} \]
• \[ y' = \frac{x^2 - 256}{(x^2 + 256)^2} \]

Шаг 2: Приравниваем производную к нулю.

Чтобы найти критические точки, нужно решить уравнение:

• \[ \frac{x^2 - 256}{(x^2 + 256)^2} = 0 \]

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю:

• \[ x^2 - 256 = 0 \]
• \[ x^2 = 256 \]
• \[ x = \pm \sqrt{256} \]
• \[ x = \pm 16 \]

Итак, у нас есть две критические точки: x = 16 и x = -16.

Шаг 3: Определяем, где функция имеет минимум.

Чтобы понять, какая из точек является точкой минимума, а какая — максимума, можно использовать вторую производную или метод интервалов для первой производной.

Проверим знак первой производной на интервалах, образованных критическими точками (-∞; -16), (-16; 16), (16; +∞).

Возьмём тестовые точки:

• Интервал (-∞; -16): Возьмём x = -20.
• \[ y'(-20) = \frac{(-20)^2 - 256}{((-20)^2 + 256)^2} = \frac{400 - 256}{(400 + 256)^2} = \frac{144}{(656)^2} > 0 \]
• Функция возрастает на этом интервале.

• Интервал (-16; 16): Возьмём x = 0.
• \[ y'(0) = \frac{0^2 - 256}{(0^2 + 256)^2} = \frac{-256}{(256)^2} < 0 \]
• Функция убывает на этом интервале.

• Интервал (16; +∞): Возьмём x = 20.
• \[ y'(20) = \frac{(20)^2 - 256}{((20)^2 + 256)^2} = \frac{400 - 256}{(400 + 256)^2} = \frac{144}{(656)^2} > 0 \]
• Функция возрастает на этом интервале.

Выводы:

• На интервале (-∞; -16) функция возрастает (знак производной +).
• На интервале (-16; 16) функция убывает (знак производной -).
• На интервале (16; +∞) функция возрастает (знак производной +).

Точка x = -16 является точкой минимума, так как производная меняет знак с минуса на плюс.

Точка x = 16 является точкой максимума, так как производная меняет знак с плюса на минус.

Шаг 4: Находим значение y в точке минимума.

Подставим x = -16 в исходную функцию:

• \[ y = - \frac{-16}{(-16)^2 + 256} \]
• \[ y = - \frac{-16}{256 + 256} \]
• \[ y = - \frac{-16}{512} \]
• \[ y = \frac{16}{512} \]
• \[ y = \frac{1}{32} \]

Итого:

Точка минимума функции — это точка с координатами (x, y).

Ответ: (-16; 1/32)