Найдите точку минимума функции y = -x / (x^2 + 256).

Решение:

Чтобы найти точку минимума функции, найдем её производную и приравняем к нулю.

1. Найдем производную функции \( y = -\frac{x}{x^2 + 256} \) используя правило деления \( \big(\frac{u}{v}\big)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \), где \( u = -x \) и \( v = x^2 + 256 \).

\( u' = -1 \)

\( v' = 2x \)

Теперь подставим в формулу производной:

\( y' = \frac{(-1)(x^2 + 256) - (-x)(2x)}{(x^2 + 256)^2} \)

\( y' = \frac{-x^2 - 256 + 2x^2}{(x^2 + 256)^2} \)

\( y' = \frac{x^2 - 256}{(x^2 + 256)^2} \)

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( \frac{x^2 - 256}{(x^2 + 256)^2} = 0 \)

Знаменатель \( (x^2 + 256)^2 \) всегда положителен, поэтому нам нужно, чтобы числитель был равен нулю:

\( x^2 - 256 = 0 \)

\( x^2 = 256 \)

\( x = ± √{256} \)

\( x_1 = 16 \), \( x_2 = -16 \)

3. Определим, какая из критических точек является точкой минимума. Для этого проанализируем знак производной. Возьмем точки, например, \( x = -17 \) (левее -16), \( x = 0 \) (между -16 и 16) и \( x = 17 \) (правее 16).
• При \( x = -17 \) (значение до \( -16 \)):

\( y' = \frac{(-17)^2 - 256}{((-17)^2 + 256)^2} = \frac{289 - 256}{(289 + 256)^2} = \frac{33}{(\text{положительное число})^2} > 0 \). Производная положительна, функция возрастает.

• При \( x = 0 \) (значение между \( -16 \) и \( 16 \)):

\( y' = \frac{(0)^2 - 256}{((0)^2 + 256)^2} = \frac{-256}{(256)^2} < 0 \). Производная отрицательна, функция убывает.

• При \( x = 17 \) (значение после \( 16 \)):

\( y' = \frac{(17)^2 - 256}{((17)^2 + 256)^2} = \frac{289 - 256}{(289 + 256)^2} = \frac{33}{(\text{положительное число})^2} > 0 \). Производная положительна, функция возрастает.

Из анализа знаков производной видно, что в точке \( x = -16 \) происходит смена знака производной с "+" на "-", следовательно, это точка максимума. В точке \( x = 16 \) происходит смена знака производной с "-" на "+", следовательно, это точка минимума.

Ответ: x = 16