378. Найдите точку, расстояние от которой до точки М(-2; 3; 5) вдвое меньше расстояния до точки К(4; -10; -4), учитывая, что она рас- положена на оси: а) абсцисс; б) ординат; в) аппликат.

Пусть искомая точка A(x; 0; 0) лежит на оси абсцисс. Тогда расстояние от точки A до точки M равно \[AM = \sqrt{(x + 2)^2 + (0 - 3)^2 + (0 - 5)^2} = \sqrt{(x + 2)^2 + 9 + 25} = \sqrt{(x + 2)^2 + 34}.\]

Расстояние от точки A до точки K равно \[AK = \sqrt{(x - 4)^2 + (0 + 10)^2 + (0 + 4)^2} = \sqrt{(x - 4)^2 + 100 + 16} = \sqrt{(x - 4)^2 + 116}.\]

По условию, AM = 0.5 * AK, то есть \[\sqrt{(x + 2)^2 + 34} = 0.5 \sqrt{(x - 4)^2 + 116}.\]

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\[(x + 2)^2 + 34 = 0.25 ((x - 4)^2 + 116).\]

Раскроем скобки и упростим:

\[x^2 + 4x + 4 + 34 = 0.25 (x^2 - 8x + 16 + 116),\] \[x^2 + 4x + 38 = 0.25 (x^2 - 8x + 132),\] \[x^2 + 4x + 38 = 0.25x^2 - 2x + 33.\]

Перенесем все в левую часть:

\[0.75x^2 + 6x + 5 = 0.\]

Умножим на 4/3, чтобы избавиться от дроби:

\[x^2 + 8x + \frac{20}{3} = 0.\]

Решим квадратное уравнение:

\[x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot \frac{20}{3}}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - \frac{80}{3}}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{\frac{192 - 80}{3}}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{\frac{112}{3}}}{2} = -4 \pm \sqrt{\frac{28}{3}}.\]

Приблизительные значения x:

\[x_1 \approx -4 + \sqrt{9.33} \approx -4 + 3.05 \approx -0.95,\] \[x_2 \approx -4 - \sqrt{9.33} \approx -4 - 3.05 \approx -7.05.\]

Таким образом, координаты точки A примерно равны (-0.95; 0; 0) или (-7.05; 0; 0).

Ответ: а) абсцисс