Найдите три последовательных чётных натуральных числа, если квадрат второго из них на 56 меньше удвоенного произведения первого и третьего чисел.

Решение:

Пусть первое чётное натуральное число будет \( 2n \), тогда второе будет \( 2n + 2 \), а третье — \( 2n + 4 \), где \( n \) — натуральное число.

По условию задачи, квадрат второго числа на 56 меньше удвоенного произведения первого и третьего чисел. Запишем это в виде уравнения:

\( (2n + 2)^2 = 2 · (2n) · (2n + 4) - 56 \)

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\( (4n^2 + 8n + 4) = 2 · (4n^2 + 8n) - 56 \)

\( 4n^2 + 8n + 4 = 8n^2 + 16n - 56 \)

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( 8n^2 + 16n - 56 - 4n^2 - 8n - 4 = 0 \)

\( 4n^2 + 8n - 60 = 0 \)

Разделим обе части уравнения на 4 для упрощения:

\( n^2 + 2n - 15 = 0 \)

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета:

\( n_1 + n_2 = -2 \)

\( n_1 · n_2 = -15 \)

Подбираем корни: \( n_1 = 3 \) и \( n_2 = -5 \).

Так как \( n \) должно быть натуральным числом, то \( n = 3 \).

Теперь найдём искомые числа:

Первое число: \( 2n = 2 · 3 = 6 \)

Второе число: \( 2n + 2 = 2 · 3 + 2 = 6 + 2 = 8 \)

Третье число: \( 2n + 4 = 2 · 3 + 4 = 6 + 4 = 10 \)

Проверим условие: квадрат второго числа (\( 8^2 = 64 \)) должен быть на 56 меньше удвоенного произведения первого и третьего чисел (\( 2 · 6 · 10 = 120 \)).

\( 120 - 64 = 56 \). Условие выполняется.

Ответ: 6, 8, 10.