Найдите трёхзначное число, кратное 40, все цифры которого различны, а сумма квадратов цифр делится на 4, но не делится на 16. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Давайте найдем трёхзначное число, которое удовлетворяет всем условиям: 1. Число кратно 40. Это означает, что число должно делиться на 40 без остатка. Следовательно, оно должно оканчиваться на 0. Таким образом, последняя цифра числа - 0. 2. Все цифры числа различны. 3. Сумма квадратов цифр делится на 4, но не делится на 16. Пусть число имеет вид \(abc\), где \(c = 0\). Тогда число можно представить как \(ab0\). Так как число кратно 40, вторая цифра \(b\) должна быть четной (0, 2, 4, 6, 8), чтобы число делилось на 4. Ноль мы уже использовали, поэтому остаются варианты 2, 4, 6, 8. Теперь рассмотрим сумму квадратов цифр: \(a^2 + b^2 + c^2 = a^2 + b^2 + 0^2 = a^2 + b^2\). Эта сумма должна делиться на 4, но не делиться на 16. Переберем варианты для \(b\) и найдем подходящее \(a\): * Если \(b = 2\), то \(a^2 + 2^2 = a^2 + 4\) должно делиться на 4. Это означает, что \(a^2\) должно делиться на 4. Подходящие значения для \(a\): 2, 4, 6, 8. Но 2 уже использовано, поэтому остаются 4, 6, 8. Проверим, чтобы сумма квадратов не делилась на 16: * Если \(a = 4\), то \(4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20\). 20 делится на 4, но не делится на 16. Число 420 подходит. * Если \(a = 6\), то \(6^2 + 2^2 = 36 + 4 = 40\). 40 делится на 4 и на 16, поэтому не подходит. * Если \(a = 8\), то \(8^2 + 2^2 = 64 + 4 = 68\). 68 делится на 4, но не делится на 16. Число 820 подходит. * Если \(b = 4\), то \(a^2 + 4^2 = a^2 + 16\) должно делиться на 4. Это означает, что \(a^2\) должно делиться на 4. Подходящие значения для \(a\): 2, 6, 8. Но сумма \(a^2 + 16\) должна делиться на 4, но не делиться на 16, значит, \(a^2\) не должна делиться на 16. * Если \(a = 2\), то \(2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20\). 20 делится на 4, но не делится на 16. Число 240 подходит. * Если \(a = 6\), то \(6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52\). 52 делится на 4, но не делится на 16. Число 640 подходит. * Если \(a = 8\), то \(8^2 + 4^2 = 64 + 16 = 80\). 80 делится на 16, поэтому не подходит. * Если \(b = 6\), то \(a^2 + 6^2 = a^2 + 36\) должно делиться на 4. Это означает, что \(a^2\) должно делиться на 4. Подходящие значения для \(a\): 2, 4, 8. Но сумма \(a^2 + 36\) должна делиться на 4, но не делиться на 16, значит, \(a^2\) не должна делиться на 16. * Если \(a = 2\), то \(2^2 + 6^2 = 4 + 36 = 40\). 40 делится на 4 и на 16, поэтому не подходит. * Если \(a = 4\), то \(4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52\). 52 делится на 4, но не делится на 16. Число 460 подходит. * Если \(a = 8\), то \(8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100\). 100 делится на 4, но не делится на 16. Число 860 подходит. * Если \(b = 8\), то \(a^2 + 8^2 = a^2 + 64\) должно делиться на 4. Это означает, что \(a^2\) должно делиться на 4. Подходящие значения для \(a\): 2, 4, 6. Но сумма \(a^2 + 64\) должна делиться на 4, но не делиться на 16, значит, \(a^2\) не должна делиться на 16. * Если \(a = 2\), то \(2^2 + 8^2 = 4 + 64 = 68\). 68 делится на 4, но не делится на 16. Число 280 подходит. * Если \(a = 4\), то \(4^2 + 8^2 = 16 + 64 = 80\). 80 делится на 16, поэтому не подходит. * Если \(a = 6\), то \(6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\). 100 делится на 4, но не делится на 16. Число 680 подходит. Итак, возможные числа: 420, 820, 240, 640, 460, 860, 280, 680. В ответе укажем число 420.