Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении и на 5, и на 16 даёт равные ненулевые остатки и первая цифра слева в записи которого является суммой двух других цифр. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Нам нужно найти трёхзначное число, которое при делении на 5 и на 16 даёт одинаковые ненулевые остатки, и первая цифра которого равна сумме двух других цифр.

Пусть это число имеет вид $$\overline{abc}$$, где a, b, c - цифры, и a = b + c.

Так как при делении на 5 остаток ненулевой, то остаток может быть 1, 2, 3 или 4.

Так как при делении на 16 остаток ненулевой, то остаток может быть от 1 до 15.

Значит, остаток при делении и на 5, и на 16 может быть 1, 2, 3 или 4. Обозначим этот остаток как r. Тогда число можно представить в виде: N = 5k + r и N = 16m + r, где k и m - целые числа.

Тогда 5k = 16m, следовательно, N - r должно делиться на НОК(5, 16) = 80.

То есть N = 80n + r, где n - целое число.

Теперь перебираем возможные значения n, чтобы найти трехзначное число. Также не забываем про условие a = b + c.

• n = 2: N = 80 * 2 + r = 160 + r. Если r = 1, N = 161. 1 = 6 + 1 (неверно). Если r = 2, N = 162. 1 = 6 + 2 (неверно). Если r = 3, N = 163. 1 = 6 + 3 (неверно). Если r = 4, N = 164. 1 = 6 + 4 (неверно).
• n = 3: N = 80 * 3 + r = 240 + r. Если r = 1, N = 241. 2 = 4 + 1 (неверно). Если r = 2, N = 242. 2 = 4 + 2 (неверно). Если r = 3, N = 243. 2 = 4 + 3 (неверно). Если r = 4, N = 244. 2 = 4 + 4 (неверно).
• n = 4: N = 80 * 4 + r = 320 + r. Если r = 1, N = 321. 3 = 2 + 1 (верно). Если r = 2, N = 322. 3 = 2 + 2 (неверно). Если r = 3, N = 323. 3 = 2 + 3 (неверно). Если r = 4, N = 324. 3 = 2 + 4 (неверно).

Таким образом, число 321 удовлетворяет всем условиям.

Ответ: 321